Resumen
En este trabajo se han analizado varios problemas en el contexto de la
elasticidad no lineal basándose en modelos constitutivos representativos.
En particular, se han analizado problemas relacionados con el fenómeno
de perdida de estabilidad asociada con condiciones de contorno en el
caso de material reforzados con fibras. Cada problema se ha formulado
y se ha analizado por separado en diferentes capítulos.
En primer lugar se ha mostrado el análisis del gradiente de deformación
discontinuo para un material transversalmente isótropo, en particular,
el modelo del material considerado consiste de una base neo-Hookeana
isótropa incrustada con fibras de refuerzo direccional caracterizadas con
un solo parámetro. La solución de este problema se vincula con instabilidades
que dan lugar al mecanismo de fallo conocido como banda
de cortante. La perdida de elipticidad de las ecuaciones diferenciales
de equilibrio es una condición necesaria para que aparezca este tipo de
soluciones y por tanto las inestabilidades asociadas. En segundo lugar
se ha analizado una deformación combinada de extensión, inación
y torsión de un tubo cilíndrico grueso donde se ha encontrado que la
deformación citada anteriormente puede ser controlada solo para determinadas
direcciones de las fibras refuerzo. Para entender el comportamiento
elástico del tubo considerado se ha ilustrado numéricamente
los resultados obtenidos para las direcciones admisibles de las fibras de
refuerzo bajo la deformación considerada. En tercer lugar se ha estudiado
el caso de un tubo cilíndrico grueso reforzado con dos familias de fibras sometido a cortante en la dirección azimutal para un modelo de
refuerzo especial. En este problema se ha encontrado que las inestabilidades
que aparecen en el material considerado están asociadas con
lo que se llama soluciones múltiples de la ecuación diferencial de equilibrio.
Se ha encontrado que el fenómeno de instabilidad ocurre en un
estado de deformación previo al estado de deformación donde se pierde
la elipticidad de la ecuación diferencial de equilibrio. También se ha
demostrado que la condición de perdida de elipticidad y ^W=2 = 0
(la segunda derivada de la función de energía con respecto a la deformación) son dos condiciones necesarias para la existencia de soluciones
múltiples. Finalmente, se ha analizado detalladamente en el contexto
de elipticidad un problema de un tubo cilíndrico grueso sometido a una
deformación combinada en las direcciones helicoidal, axial y radial para
distintas geotermias de las fibras de refuerzo .
In the present work four main problems have been addressed within the
framework of non-linear elasticity based on representative constitutive
models. Namely, problems related to the loss of stability phenomena
associated with boundary value problems for fibre-reinforced materials.
Each of the considered problems is formulated and analysed separately
in different chapters.
We first start with the analysis of discontinuous deformation gradients
for a transversely isotropic material under plane deformation. In particular,
the material model is an augmented neo-Hookean base with a
simple unidirectional reinforcement characterised by a single parameter.
The solution of this problem is related to material instabilities and
it is associated with a shear band-type failure mode. The loss of ellipticity
of the governing differential equations is a necessary condition
for the existence of these material instabilities. The second problem involves
a detailed analysis of the combined non-linear extension, inflation
and torsion of a thick-walled circular cylindrical tube where it has been
found that the aforementioned deformation is controllable only for certain
preferred directions of transverse isotropy. Numerical results have
been illustrated to understand the elastic behaviour of the tube for the
admissible preferred directions under the considered deformation. The
third problem deals with the analysis of a doubly fibre-reinforced thickwalled
circular cylindrical tube undergoing pure azimuthal shear for a
special class of the reinforcing model where multiple non-smooth solutions emerge. The associated instability phenomena are found to occur
prior to the point where the nominal stress tensor changes monotonicity
in a particular direction. It has been also shown that the loss of ellipticity
condition that arises from the equilibrium equation and ^W=2 = 0
(the second derivative of the strain-energy function with respect to the
deformation) are equivalent necessary conditions for the emergence of
multiple solutions for the considered material. Finally, a detailed analysis
in the basis of the loss of ellipticity of the governing differential
equations for a combined helical, axial and radial elastic deformations
of a fibre-reinforced circular cylindrical tube is carried out.
