Obtención de fracciones de diseños factoriales a dos niveles con 32 observaciones

García García, Javier (2017). Obtención de fracciones de diseños factoriales a dos niveles con 32 observaciones. Proyecto Fin de Carrera / Trabajo Fin de Grado, E.T.S.I. Industriales (UPM).

Descripción

Título: Obtención de fracciones de diseños factoriales a dos niveles con 32 observaciones
Autor/es:
  • García García, Javier
Director/es:
  • González Guillén, Carlos
  • Juan Ruiz, Jesús
Tipo de Documento: Proyecto Fin de Carrera/Grado
Grado: Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales
Fecha: Febrero 2017
Materias:
Escuela: E.T.S.I. Industriales (UPM)
Departamento: Matemáticas del Área Industrial
Licencias Creative Commons: Reconocimiento - Sin obra derivada - No comercial

Texto completo

[img]
Vista Previa
PDF (Document Portable Format) - Se necesita un visor de ficheros PDF, como GSview, Xpdf o Adobe Acrobat Reader
Descargar (1MB) | Vista Previa

Resumen

Una de las aplicaciones fundamentales de la Estadística es el diseño de experimentos. En un diseño experimental se manipulan deliberadamente una o más variables (factores), para medir el efecto que tienen en otra variable de interés (variable respuesta). En un diseño factorial, es necesario medir la variable respuesta para dos o más valores de cada factor. En los estudios exploratorios una estrategia habitual es considerar solo dos niveles o valores en cada uno de los factores. A estos diseños experimentales se le denomina diseños factoriales a dos niveles. El número de observaciones que requiere cada diseño es una potencia de dos. En muchas aplicaciones en la industria, el número de factores es elevado y la aplicación de diseños factoriales completos exige un número muy elevado de experimentos a realizar. Cuando los recursos son limitados, el número de factores incluidos grande, o simplemente se quiere reducir el coste experimental, se utilizan las fracciones de diseños factoriales. Un diseño factorial fraccionado utiliza un subconjunto de un diseño factorial completo, así que algunas variables aparecerán confundidas con interacciones de otras variables. En un diseño factorial fraccionado 2k-p = n, se denomina k al número de variables del experimento, p al grado de fraccionamiento y n al número de observaciones de un experimento. A modo de ejemplo, se va a definir un diseño factorial fraccionado con 7 variables (k=7), 2 palabras generadoras (p=2) y 32 replicaciones (n=32) al que conoceremos como Ejemplo. Ejemplo = {A, B, C, D, E, AB, ABC} Al tratarse de un diseño de 32 replicaciones, el diseño factorial completo estaría compuesto por 5 variables (25 = 32). Sin embargo, de acuerdo a Ejemplo, aparecen dos variables extras (F y G) confundidas con dos interacciones (AB y ABC), a las que se conoce como palabras generadoras p. Estas palabras quedan representadas por las expresiones F = AB y G = ABC, o I = ABF e I = ABCG, siendo I la identidad. Cada diseño viene caracterizado por su ecuación generatriz, que queda definida por los productos de las palabras generadoras p. En este caso la ecuación generatriz sería: I = ABF I = ABCG I = CGF Una forma de caracterizar la ecuación generatriz de un diseño es mediante su Word Length Pattern. Se define el Word Length Pattern de un diseño como un vector cuya componente i-ésima es el número de palabras de longitud i que hay en su ecuación generatriz completa. Así en el ejemplo anterior en el que la ecuación generatriz completa era: I = ABF = ABCG = CGF el Word Length Pattern sería: WLP = (0, 0, 2, 1, 0, 0, 0) Se define la Resolución del diseño como la longitud de la palabra más corta de la ecuación generatriz completa. Así en el caso anterior la resolución del diseño será 3. Como se puede apreciar, la resolución de un diseño y el Word Length Pattern depende de cómo hayan sido elegidos los términos independientes del mismo. Así, si por ejemplo tenemos confundido un efecto principal con una interacción de orden cuatro sabremos con mucha certeza que la estimación se debe al efecto principal y no a la interacción de orden cuatro, pero si tenemos un efecto principal confundido con una interacción de orden dos, la estimación del factor principal puede estar muy sesgada y ya no podemos estar seguros de que dicha estimación se deba al efecto principal puesto que también puede ser debido a la interacción o a ambos. La resolución de un diseño indicará con qué orden de interacción van a estar confundidos los factores principales interacciones de orden dos, tres, etc, o más bien con qué orden de interacción no van a estar confundidos. A la hora de construir una determinada fracción interesa principalmente que los efectos principales e interacciones de orden bajo estén confundidos con interacciones de orden superior. Para conseguir esto se siguen los criterios de máxima resolución y mínima aberración. Estos dos criterios están basados en unas hipótesis aceptables empíricamente: 1) Las interacciones de orden bajo son más importantes que las de orden alto. 2) Las interacciones del mismo nivel son igual de importantes. 3) Sólo hay un número relativamente pequeño de efectos significativos. Veamos a continuación estos dos criterios: Máxima resolución: Como se ha indicado antes, interesa que los diseños tengan máxima resolución para que los efectos principales o interacciones de orden bajo aparezcan confundidas con efectos de orden alto, para así poder estimar su efecto con elevada fiabilidad. Para que un diseño sea interesante desde un punto de vista práctico debe tener una resolución superior a dos para que los efectos principales no aparezcan confundidos entre sí. De todas formas, es conveniente que la resolución sea como mínimo 3 o 4 para que los efectos principales no estén confundidos entre sí o con interacciones de orden dos, cuyo efecto puede ser importante. Mínima aberración: El concepto de aberración se usa para comparar dos diseños, así siempre diremos que un diseño tiene mayor o menor aberración que otro pero no hablaremos de la aberración de un diseño por sí mismo. Dado el número total de factores a estudiar y el número de experimentos a realizar, el experimentador cuenta con varias posibilidades a la hora de elegir su diseño. No obstante, encontrar el diseño óptimo para cada caso particular es muy complejo. Debido a lo explicado en los párrafos anteriores, el diseño óptimo suele ser el de máxima resolución y mínima aberración, sin embargo puede haber casos particulares en los que esto no sea así. Para facilitar el trabajo del experimentador, en un trabajo anterior David Santos Vaquero había calculado todos los diseños posibles para diseños factoriales fraccionados con 16 observaciones (un total de 46). Como la utilidad práctica era significativa, pero el número de diseños calculados hasta el momento era pequeño, se decidió emprender la búsqueda de todos los diseños factoriales fraccionales a dos niveles de 32 observaciones con diferente Word Length Pattern (2k-p = 32 observaciones). El problema era de enorme complejidad por el número elevado de combinaciones a comparar y debía ser tratado computacionalmente. Por ello, en el presente trabajo se han desarrollado tres programas en Matlab. El primer programa, al que se le ha bautizado como “CaminosNodo”, ofrece los diseños k+1 con su correspondiente Word Length Pattern a los que es posible llegar desde un diseño concreto con k factores. El segundo programa, llamado “DiseñosN32”, permite obtener todos los diseños posibles para diseños factoriales n=2k-p con 32 observaciones (además es fácilmente adaptable a 16, 64, etc). Por último se ha creado, un tercer programa, “Complementarios”, que calcula los diseños complementarios de un diseño dado, con su correspondiente Word Lenght Pattern. El último programa tiene menor interés para el experimentador, ya que ha sido una herramienta de validación y verificación de los otros dos programas de acuerdo a la teoría. Los resultados han sido satisfactorios a la par que interesantes. Se han obtenido 820 diseños con diferente Word Length Pattern en el rango de 32 observaciones. Además, se han encontrado fenómenos matemáticos inesperados, como la aparición de diseños con el mismo Word Length Pattern pero diferentes, algo que no se esperaba hasta valores de k-p superiores. Asimismo los resultados de este Trabajo Fin de Grado, tienen una utilidad menos explícita ya que tienen diversas conexiones con la matemática discreta, teorema de Galois y otros problemas de la Teoría de Números, un tema que apasiona a los matemáticos. Cabe destacar la estrecha relación que guarda con problemas de codificación, concretamente con los códigos de detección de errores, a los cuáles, los resultados de este proyecto pueden ser aplicados directamente. En definitiva, a pesar de la enorme utilidad para el desarrollo de experimentos de los programas desarrollados y los diseños encontrados en este trabajo, los diseños factoriales 2k-p están ligados a numerosos problemas combinatorios en el ámbito matemático, por lo que los resultados obtenidos en este trabajo pueden ser extrapolados a otras áreas matemáticas que no sean simplemente el diseño de experimentos.

Más información

ID de Registro: 45529
Identificador DC: http://oa.upm.es/45529/
Identificador OAI: oai:oa.upm.es:45529
Depositado por: Biblioteca ETSI Industriales
Depositado el: 21 Abr 2017 05:57
Ultima Modificación: 21 Abr 2017 05:57
  • Open Access
  • Open Access
  • Sherpa-Romeo
    Compruebe si la revista anglosajona en la que ha publicado un artículo permite también su publicación en abierto.
  • Dulcinea
    Compruebe si la revista española en la que ha publicado un artículo permite también su publicación en abierto.
  • Recolecta
  • e-ciencia
  • Observatorio I+D+i UPM
  • OpenCourseWare UPM