Cónicas y cuádricas.

Díaz Hernando, Juan Ángel (2017). Cónicas y cuádricas.. Miscelánea de geometría, V . Juan Ángel Díaz Hernando, Madrid. ISBN 978-84-09-03104-7.

Description

Title: Cónicas y cuádricas.
Author/s:
  • Díaz Hernando, Juan Ángel
Editor/s:
  • Díaz Hernando, Juan Ángel
Item Type: Book
Date: 2017
ISBN: 978-84-09-03104-7
Volume: V
Subjects:
Faculty: E.T.S.I. Industriales (UPM)
Department: Matemática Aplicada a la Ingeniería Industrial
Creative Commons Licenses: Recognition - No derivative works - Non commercial

Full text

[img]
Preview
PDF - Requires a PDF viewer, such as GSview, Xpdf or Adobe Acrobat Reader
Download (10MB) | Preview

Abstract

En el Capítulo I, tras un breve intento de posicionarnos ante el problema, en la Lección 1 doy las definiciones de las cónicas como las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por un plano que no pasa por el vértice, visualizándolas. En la Lección 2, llevando el vértice del cono al infinito, es decir convirtiéndole en un cilindro de revolución, vemos que las definiciones anteriores siguen teniendo sentido, lo que nos permite hablar, en general, de las cónicas degeneradas. En el Capítulo II, en las Lecciones 3, 4, 5 y 6 se hace un estudio monográfico de la elipse; en las Lecciones 7, 8, 9 y 10 de la hipérbola, y en las Lecciones 11, 12, 13 y 14 de la parábola. En la Lección 15, recordar conceptos ya conocidos, a cerca de lo que es una proyectividad entre series circulares, nos permitirá enunciar el importante Teorema de Fregier. En la Lección 16 se extrapola a las cónicas lo establecido en la anterior para el caso particular de una circunferencia, apareciendo el Teorema de Steiner, del que resultan interesantes propiedades de aplicación a un buen número de ejemplos. En la Lección 17 se retoman los conocidos Teoremas de Pascal y Brianchon, para aplicarlos a toda una problemática sobre las cónicas. En la Lección 18 se trata el importantísimo problema de la polaridad, primero en la circunferencia y luego en las cónicas en general. Los ejemplos de aplicación, tanto en ésta como en las lecciones anteriores y en las que seguirán, estarán siempre presentes. En el Capítulo III se inicia un nuevo planteamiento de los anunciados. Así, en la Lección 19 se plantean las cónicas como homólogas de la circunferencia. En la Lección 20 aparte de considerar la homología, para conseguir un mejor trazado de las cónicas, se plantea la posibilidad de recurrir a la proyectividad. La Lección 21, como complemento a los planteamientos anteriores, ejemplariza diversos problemas corresV pondientes a las figuras homológicas de la circunferencia. La Lección 22 da continuidad a la anterior, pero utilizando una homología particular: la afinidad, que recordemos no es más que una homología de eje propio y centro impropio. El Capítulo IV consta de las Lecciones 23 y 24, como simple recordatorio de cuestiones que se estudian en álgebra, como son: El plano euclídeo y las formas cuadráticas. El Capítulo V trata las cónicas con el último de los planteamientos de que se hablaba en la primera lección, siendo éste el de considerarlas como formas cuadráticas sobre el cuerpo real, una exposición que puede considerarse, en cierto modo, independiente de las anteriores, si bien con el mismo objetivo y las mismas conclusiones. La Lección 25 trata de, una vez redefinidas las cónicas, establecer sus ecuaciones reducidas, introduciendo sus invariantes métricos, hasta llegar a su clasificación afín y métrica; los abundantes ejemplos de que consta sin duda amenizarán su estudio. La Lección 26 maneja las coordenadas homogéneas en el plano, que permiten la introducción analítica tanto de los puntos impropios y los imaginarios, como de las direcciones y rectas isótropas, y sus correspondientes puntos cíclicos. La Lección 27 analiza la posición relativa de una recta y una cónica, y dedica una buena parte de ella al estudio de la polaridad, fructífera en sus aplicaciones; en particular, el concepto de puntos conjugados es muy utilizado. Continúan los numerosos ejemplos tratando de estimular el estudio de los nuevos elementos introducidos. La Lección 28 trata específicamente de la definición y determinación de los centros, diámetros, asíntotas, ejes y focos, de las cónicas, con un breve apunte a las denominadas homofocales. La Lección 29 estudia la determinación de cónicas, y en particular ejemplariza el tratamiento de los haces de cónicas. El Capítulo VI está dedicado al estudio de las cuádricas. Así, en la Lección 30, que en alguna manera corre paralela a la Lección 25 de las cónicas, se da la definición de cuádrica, y se tratan sus ecuaciones reducidas, y sus invariantes métricos, hasta establecer su clasificación afín, dedicando un apartado completo a los ejemplos que permitan aclarar posibles dudas; se cierra la lección estudiando las denominadas secciones cíclicas y puntos umbilicales. La Lección 31 corre, también, paralela a la Lección 27 de las cónicas; se trata aquí de analizar la posición relativa tanto de una recta como de un plano, con una cuádrica, así como el estudio de la polaridad en las cuádricas. La Lección 32 trata, dando continuidad a la anterior, de los eventuales centros, planos diametrales, diámetros, planos principales y ejes. Los abundantes ejemplos aclaratorios se presentan en un apartado específico. El Capítulo VII aparece como algo foráneo, respecto de lo que venimos tratando, pero que considero de gran interés dentro de esta parte de la Geometría, pues trata de las curvas en general, planas y alabeadas, como de las superficies, entre cuyo estudio reaparecerán tanto las cónicas como, sobre todo las cuádricas, que por otra parte no son sino superficies muy particulares. Así, la Lección 33 establece, para una curva plana, conceptos tan importantes como la curvatura, el círculo osculador, la evoluta, y los de envolvente e involuta para un haz. La Lección 34, tras un pequeño toque el análisis vectorial, sobre el que volveremos en la Lección 37, se estudian las curvas alabeadas, definiendo sobre ellas su plano normal, el osculador VI y el rectificante, así como sus rectas tangentes, binormales y normales, con cuyos elementos se juega en distintos ejemplos. Se establecen, a continuación, las distintas curvaturas: flexión y torsión, para terminar definiendo el triedro intrínseco, y las tres fórmulas de Frenet. La Lección 35 juega con las superficies, sus planos tangentes y rectas normales, así como lo que se llama contorno aparente, para después definir lo que constituye un haz lineal de superficies de orden n. Se dedica un apartado a la generación de superficies, y otros dos a las superficies de revolución, con especial aplicación a las cuádricas. Por último se estudian las superficies regladas, entre las que encontramos el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico, así como las superficies cónicas y las cilíndricas. A modo de alternativa a las superficies regladas se tienen las alabeadas, entre las que destacamos los conoides. Se definen, así mismo, las superficies de traslación y las podarias. La Lección 36 trata, en particular, de la curvatura de superficies de las secciones oblicuas que pasan por una misma tangente, que se enuncia en el Teorema de Meusnier, y la relación de las curvaturas de las secciones normales, que permiten definir las curvaturas y radios de curvatura principales, dando lugar a la denominada curvatura de Gauss en un punto de la superficie. La lección termina estableciendo una clasificación de los puntos de una superficie en elípticos, parabólicos e hiperbólicos. La Lección 37 puede parecer algo fuera del contexto de lo tratado hasta aquí, aunque me parece interesante que aparezca, dado la utilización de los conceptos que desarrolla tanto en las matemáticas como en la física. Se trata de plantear, en un espacio vectorial euclídeo tridimensional, en lo que llamamos campo de escalares el gradiente, y en lo que se denomina campo de vectores la divergencia y el rotacional. [Extracto del prólogo del autor].

More information

Item ID: 57054
DC Identifier: http://oa.upm.es/57054/
OAI Identifier: oai:oa.upm.es:57054
Deposited by: Juan Angel Diaz Hernando
Deposited on: 24 Oct 2019 08:00
Last Modified: 24 Oct 2019 08:19
  • Logo InvestigaM (UPM)
  • Logo GEOUP4
  • Logo Open Access
  • Open Access
  • Logo Sherpa/Romeo
    Check whether the anglo-saxon journal in which you have published an article allows you to also publish it under open access.
  • Logo Dulcinea
    Check whether the spanish journal in which you have published an article allows you to also publish it under open access.
  • Logo de Recolecta
  • Logo del Observatorio I+D+i UPM
  • Logo de OpenCourseWare UPM