Teoremas de punto fijo para homeomorfismos en el plano

Chamorro Herrero, David (2020). Teoremas de punto fijo para homeomorfismos en el plano. Proyecto Fin de Carrera / Trabajo Fin de Grado, E.T.S. de Ingenieros Informáticos (UPM), Madrid, España.

Description

Title: Teoremas de punto fijo para homeomorfismos en el plano
Author/s:
  • Chamorro Herrero, David
Contributor/s:
  • Barge Yáñez, Héctor
Item Type: Final Project
Degree: Grado en Matemáticas e Informática
Date: June 2020
Subjects:
Faculty: E.T.S. de Ingenieros Informáticos (UPM)
Department: Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones
Creative Commons Licenses: Recognition - No derivative works - Non commercial

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Abstract

Este trabajo consiste en el estudio de algunos resultados clásicos sobre la existencia de puntos fijos para homeomorfismos en el plano. Estos resultados se enmarcan en el área de intersección entre la topología y los sistemas dinámicos. La primera parte es una introducción que trata sobre conceptos que servirán como base sobre la que asentar el resto del trabajo, destacando, entre otros, conceptos topológicos como curva de Jordan, teorema de Schöenflies, homeomorfismos, grado topológico y embebimientos que preservan orientación. Por otro lado, también se introducirán algunos conceptos dinámicos como pueden ser puntos fijos, semiórbita positiva, embebimiento libre y dinámica trivial. A continuación, se desarrollará el concepto de arcos de traslación y algunas propiedades importantes de estos arcos en los embebimientos en el plano, destacando que, bajo ciertas hipótesis, se comprobará que es posible construir un arco de traslación que pasa por una serie de puntos prefijados. El estudio de los arcos de traslación y sus propiedades en los embebimientos en el plano conducirá a la la prueba del lema de traslación de arcos de Brouwer, lema que permite determinar la existencia de puntos fijos mediante el estudio de los arcos de traslación. Para desarrollar esta demostración, se estudiará en profundidad todo lo necesario, incluyendo algunos resultados importantes en isotopías y la comprensión de los arcos de traslación. El lema de traslación de arcos de Brouwer es un resultado de gran importancia ya que posiblemente es el más importante de los resultados conocidos de dinámica en el plano, y como consecuencia, se pueden obtener algunos resultados célebres de la literatura como: el teorema de punto fijo de Cartwright-Littlewood, teorema sobre el que, en el trabajo, se hará un estudio y su demostración a partir del lema de traslación de arcos de Brouwer.---ABSTRACT---This final project is about the study of some classic results of the existence of fixed points of homeomorphisms in the plane. These results lie within the intersection of the mathematical branches of topology and dynamical systems. The first part, serving as an introduction, is about some key concepts that will be the basis of the rest of the project, highlighting some distinguished topological concepts such as the Jordan curve, the Schönflies theorem, homeomorphism, topological degree and orientation-preserving embedding. On the other hand, some dynamical concepts will be introduced such as fixed point, free embedding and trivial dynamics. Secondly, the concept of translation arc will be explained in detail. Some properties of translation arcs of embedding in the plane such as the fact that, under some circumstances, it is possible to construct a translation arc which includes some given points. Lastly, the study of translation arcs and their properties in embeddings of the plane will lead to the proof of Brouwer’s lemma of translation arcs, lemma which will allow the study of the existence of fixed points through the study of translation arcs. In order to prove this lemma, some important results such as isotopies and compression of translation arcs will be studied. Brouwer’s lemma of translation arcs is, arguably, the most important result known in planar dynamics, and as a consequence, it is possible to prove some important theorems like CartwrightLittlewood fixed point theorem. The study of this theorem and its proof using Brouwer’s lemma will be the conclusion to this project.

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Item ID: 63150
DC Identifier: http://oa.upm.es/63150/
OAI Identifier: oai:oa.upm.es:63150
Deposited by: Biblioteca Facultad de Informatica
Deposited on: 22 Jul 2020 17:26
Last Modified: 22 Jul 2020 17:26
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