The Runge-Kutta Taylor-SPH model, a new improved model for soil dynamics problems

Abstract

The study developed in this thesis is focused on numerical modeling of dynamics behavior of dry soils in the framework of small and large deformation theory and of dynamics behavior of saturated soils in the framework of small deformation theory. A numerical code has been developed to analyze such behaviors and presents three versions:
- The Runge-Kutta Taylor-SPH for analysis of dry soils behavior in dynamic (small deformation theory)
- The new Runge-Kutta Taylor-SPH for analysis of dry soils behavior in dynamic (large deformation theory)
- The v - pw Runge-Kutta Taylor-SPH for analysis of saturated soils behavior in dynamic (small deformation theory)
Both of them are based on a mathematical model which describes the dynamic of viscoplastic solids. The governing equations of the mathematical model behind the Runge-Kutta Taylor-SPH and the new Runge-Kutta Taylor-SPH are: i) the balance of momentum equation, ii) the constitutive equation and iii) the kinetic relation. The mathematical model used to describe the dynamics behavior of saturated soil is based on the u - pw model of Zienkiewicz and his team. This model represents the behavior of the mixture of solid particles and pore water. It is based on the following governing equations: i) the mass balance equations of the solid phase, of the pore water and of the mixture, ii) the momentum balance equations of the solid phase, of the pore water and of the mixture, iii) the constitutive equation and iv) the kinetic relation. In the thesis we used the Perzyna‟s model as the constitutive equation. It is a simple viscoplastic model. This constitutive equation is completed by the Von Mises yield criterion or the yield surface of the modified Cam-Clay model depending on the problem studied. The mathematical model is formulated in terms of velocity and stress for the dry soils behavior and in terms of velocity, effective stress and pore water pressure for the saturated soils behavior. This formulation avoids the shortcomings of the classical formulation of solid dynamics. The numerical tool to discretize the equations of the mathematical model is the Smoothed Particle Hydrodynamics method (SPH). This work presents the theory and the limitations of this method. The classical SPH method presents a tensile instability when it is applied to solids. In the different versions of the Runge-Kutta Taylor-SPH model, the equations of the mathematical model are first discretized in time using the Taylor-Galerkin method. In a second step the equations are discretized in space with the SPH method. The mixing between the SPH method and the Taylor-Galerkin method allows avoiding the development of the SPH tensile instability and in consequence, the new model can be used for solids modeling.
The numerical code proposed in this work has been tested with 17 case studies. The results obtained with the numerical code have been compared to analytical solutions when it was possible. The results show that the proposed numerical models are accurate and useful to predict localized failures of dry and saturated soils.
El estudio desarrollado en esta tesis está centrado en la modelización numérica del comportamiento dinámico de los suelos secos en el marco de las teorías de pequeñas y grandes deformaciones y del comportamiento dinámico de los suelos saturados en el marco de la teoría de pequeñas deformaciones. Un código numérico ha sido desarrollado y presenta las tres versiones siguientes:
- El modelo Runge-Kutta Taylor-SPH para el análisis del comportamiento de los suelos secos en dinámica (pequeñas deformaciones)
- El “nuevo” modelo Runge-Kutta Taylor-SPH para el análisis del comportamiento de los suelos secos en dinámica (grandes deformaciones)
- El modelo v – pw Runge-Kutta Taylor-SPH para el análisis del comportamiento de los suelos saturados en dinámica (pequeñas deformaciones)
Las tres versiones se basan en un modelo matemático capaz de describir la dinámica de los sólidos viscoplásticos. Las ecuaciones del modelo matemático en el cual se basan el modelo Runge-Kutta Taylor-SPH y el “nuevo” modelo Runge-Kutta Taylor-SPH son: i) la ecuación de balance del momento lineal, ii) la ecuación constitutiva y iii) la relación cinética. El modelo matemático utilizado para describir el comportamiento dinámico de los suelos saturados viene del modelo u - pw introducido por Zienkiewicz y su equipo. Este modelo representa el comportamiento de la mezcla de partículas solidas con agua intersticial. Está basado en las ecuaciones siguientes: i) las ecuaciones de balance de masa de la fase solida, del agua intersticial y de la mezcla, ii) las ecuaciones de balance del momento lineal de la fase solida, del agua intersticial y de la mezcla, iii) la ecuación constitutiva y iv) la relación cinética. En este trabajo la ecuación constitutiva elegida es el modelo viscoplástico de Perzyna. La ecuación constitutiva está completada por el criterio de fluencia de Von Mises o por la superficie de fluencia del modelo Cam-Clay modificada según el problema estudiado. El modelo matemático está formulado en velocidades y tensiones para el comportamiento de los suelos secos y en velocidades, tensiones efectivas y presión intersticial para los suelos saturados. Esta formulación elimina los defectos de la formulación clásica de la dinámica de sólidos.
La herramienta numérica para discretizar las ecuaciones del modelo matemático es el método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Este trabajo presenta la teoría y las limitaciones de este método. El método clásico SPH presenta una inestabilidad de tensión cuando se aplica a sólidos. En las varias versionas del modelo Runge-Kutta Taylor-SPH, las ecuaciones del modelo matemático se discretizan en el tiempo basándose en el método Taylor-Galerkin. En una segunda etapa las ecuaciones se discretizan en el espacio con el método SPH. La mezcla entre el SPH clásico y el método Taylor-Galerkin permite evitar el desarrollo de la inestabilidad de tensión y en consecuencia el nuevo modelo se puede utilizar para modelizar el comportamiento dinamico de sólidos.
El código numérico propuesto en esta tesis ha sido probado con 17 casos. Los resultados obtenidos han sido comparados con soluciones analíticas cuando era posible y han mostrado que el modelo Runge-Kutta Taylor-SPH es exacto y es útil para predecir roturas localizadas en suelos secos y saturados.