Inestabilidad oscilatoria y sus aplicaciones en mecánica de fluidos y combustión

Abstract

Se analiza la aparición de la inestabilidad oscilatoria en sistemas tales que una de sus dimensiones espaciales es grande frente a la longitud de onda típica de la inestabilidad. Esta es una de las maneras genéricas en que los estados estacionarios pierden estabilidad para dar paso a estados más complicados, que involucran una frecuencia temporal y un número de onda espacial, y consisten en dos trenes de ondas que se propagan en sentidos opuestos a lo largo de la dimensión espacial grande. En las proximidades del punto de pérdida de estabilidad, se deducen las ecuaciones (ya conocidas) que describen la evolución débilmente no lineal de las amplitudes de los trenes de ondas, y se obtienen las cuatro condiciones de contorno (dos de ellas son nuevas) necesarias; estas condiciones expresan el efecto de las paredes laterales en la dirección espacial en la que es grande. Se'trata de un sistema de dos ecuaciones complejas acopladas de tipo Ginzburg-Landau para las amplitudes, que contiene términos de distinto orden de magnitud; dependiendo de los tamaños relativos de la longitud espacial grande (L ^> 1) y del parámetro de bifurcación (£ < 1), se llega a dos límites distinguidos. En el primero, que es válido en el comienzo de la bifurcación (sL2 ~ 1), se tiene un problema parabólico no local cuyas soluciones se estudian en el caso de paredes laterales perfectamente reflectoras y de paredes con coeficientes de reflexión muy grandes o muy pequeños. El segundo límite corresponde a valores mayores del parámetro de bifurcación (sL ~ 1) y en él aparece una nueva longitud característica intermedia, pequeña frente a la longitud total del dominio pero grande frente a la longitud de onda básica de la inestabilidad. Suponiendo que sólo se tienen escalas del orden de L, se obtiene un sistema de ecuaciones hiperbólicas no lineales para los módulos de las amplitudes. Para este sistema se analizan las soluciones estacionarias y su estabilidad, así como sus soluciones no estacionarias persistentes, encontrándose comportamientos periódicos, casiperiódicos y caóticos. También se analiza la validez del modelo hiperbólico, es decir, cuando las escalas intermedias permanecen efectivamente inhibidas. Por último, se comparan los resultados obtenidos con los de los de los experimentos presentes en la literatura.
ABSTRACT
The onset of the oscillatory instability is analyzed, in systems whose size in one spatial direction is large as compared with the characteristic wavelength of the instability . This instability is one of the generic bifurcations form steady states to more complex behavior; it involves a temporal frecuency and a spatial wavenumber and yields a pair of counter propagating wavetrains along the large spatial dimensión. The (already known) amplitude equations governing the weakly nonlinear evolution of the system near the bifurcation point are obtained, along with the four boundary conditions that are needed (two of them are new); those conditions take account of the effect of the sidewalls. The amplitude equations are two coupled complex Ginzburg-Landau equations that generically contains terms of different order of magnitude; depending on the relative size of the- large system length (L ^> 1) and the bifurcation parameter (e «C 1), two distinguished limits are considered. In the first one, that applies at the begining of the bifurcation (eL2 ~ 1), the system evolves according to a nonlocal parabolic problem, whose solutions are analyzed in the limiting cases of perfectly reflecting sidewalls and sidewalls with very large or very small reflection coefflcient. The second limit corresponds to higher valúes of the bifurcation parameter and involves a new intermedíate characteristic length. This scale is small as compared with the system length but still large as compared with typical instablity wavelength. A nonlinear hyperbolic system is derived for the evolution without intermediate scales. The steady states of this system and their stability are analyzed, and also some more complex large time behaviors (periodic, quasiperiodic and chaotic) are numerically described for representative valúes of the parameters. It is also elucidated whether these solutions without intermediate scales are good approximations of the solutions of the original amplitude equations. Finally, some comparisons with experiments in the literature are given.