Implementación de algoritmos para la manipulación de curvas concoides en diseño geométrico

Abstract

Este proyecto se enmarca dentro de la Computación Simbólica y de los fundamentos matemáticos del Diseño Geométrico Asistido por ordenador (CAGD).
Se abordara uno de los problemas principales en el ámbito del CAGD y que es la manipulación de las Curvas Concoide. La importancia del avance en la manipulación de las curvas concoide radica en el papel fundamental que desempeñan en múltiples aplicaciones en la actualidad dentro de campos de diversa índole tales como la medicina, la óptica, el
electromagnetismo, la construcción, etc.
El objetivo principal de este proyecto es el diseño e implementación de algoritmos para el estudio, cálculo y manipulación de curvas concoides, utilizando técnicas propias del Calculo Simbólico. Esta implementación se ha programado utilizando el sistema de computación simbólica Maple.
El proyecto consiste en dos partes bien diferenciadas, una parte teórica y otra más practica. La primera incluye la descripción geométrica y definición formal de curvas concoide, así como las ideas y propiedades básicas. De forma más precisa, se presenta un estudio matemático sobre el análisis de racionalidad de estas curvas, explicando los algoritmos que serán implementados en las segunda parte, y que constituye el objetivo principal de este proyecto. Para cerrar esta parte, se presenta una pequeña introducción al sistema y a la programación en Maple.
Por otro lado, la segunda parte de este proyecto es totalmente original, y en ella el autor desarrolla las implementaciones en Maple de los algoritmos presentados en la parte anterior, así como la creación de un paquete Maple que las recoge. Por último, se crean las paginas de ayudas en el sistema Maple para la correcta utilización del paquete matemático anteriormente mencionado. Una vez terminada la parte de implementación, se aplican los algoritmos implementados a una colección de curvas clásicas conocidas, recogiendo los datos y resultados obtenidos en un atlas de curvas.
Finalmente, se presenta una recopilación de las aplicaciones más destacadas en las que las concoides desempeñan un papel importante así como una breve reseña sobre las concoides de superficies, objeto de varios estudios en la actualidad y a los que se considera que el presente proyecto les puede resultar de gran utilidad.
Abstract
This project is set up in the framework of Symbolic Computation as well as in the implementation of algebraic-geometric problems that arise from Computer Aided Geometric
Design (C.A.G.D.) applications.
We address problems related to conchoid curves. The importance of these curves is the fundamental role that they play in current applications as medicine, optics, electromagnetism, construction, etc.
The main goal of this project is to design and implement some algorithms to solve problems in studying, calculating and generating conchoid curves with symbolic computation
techniques. For this purpose, we program our implementations in the symbolic system “Maple".
The project consists of two differentiated parts, one more theoretical part and another part more practical. The first one includes the description of conchoid curves as well as
the basic ideas about the concept and its basic properties. More precisely, we introduce in this part the mathematical analysis of the rationality of the conchoids, and we present the algorithms that will be implemented. Furthermore, the reader will be brie y introduced in Maple programming.
On the other hand, the second part of this project is totally original. In this more practical part, the author presents the implemented algorithms and a Maple package that
includes them, as well as their help pages. These implemented procedures will be check and illustrated with some classical and well known curves, collecting the main properties of the conchoid curves obtained in a brief atlas.
Finally, a compilation of the most important applications where conchoids play a fundamental role, and a brief introduction to the conchoids of surfaces, subject of several studies today and where this project could be very useful, are presented.