On the perturbation of the group generalized inverse for a class of bounded operators in Banach spaces

Abstract

En este trabajo se estudia la perturbación de la inversa generalizada grupo en el ámbito de los operadores lineales y acotados sobre un espacio de Banach complejo. Se establecen, en primer lugar, caracterizaciones de los {1,2}-inversos generalizados de operadores perturbados que verifican una condición de no singularidad. Posteriormente se caracteriza la clase de operadores perturbados para los cuales existe el operador inverso grupo y verifican ciertas condiciones geométricas. Se prueba que los operadores perturbados tienen una determinada estructura de matriz 2 por 2 de operadores y se desarrolla una representación para la resolvente de tales matrices de operadores a partir de la cual se obtiene una representación para el operador inverso grupo.
Este resultado extiende al contexto de operadores un resultado para matrices por bloques incluido en el libro [Campbell y Meyer, Generalized inverses of Linear Transformations, Dover, 1979] y nos proporciona una herramienta para el análisis de la perturbación.
Otras aportaciones son la obtención de xpresiones explícitas para el operador inverso grupo el operador perturbado y su proyección espectral asociada al 0 y la obtención de cotas superiores para el error relativo de la inversa de Drazin y de los proyectores espectrales y un resultado de continuidad de la inversa grupo para operadores en espacios de Banach.
Las aportaciones de este trabajo extienden o complementan resultados obtenidos previamente por autores sobre el mismo tema (Djordjevic, Koliha, Rakoèevic)
Given a bounded operator A on a Banach space X with Drazin inverse AD and index r, we study the class of group invertible bounded operators B such that I + A(D)(B - A) is invertible and R(B) boolean AND N(A(r)) = {0}. We show that they can be written with respect to the decomposition X = R(A(r))circle plus N(A(r)) as a matrix operator, B = (B-1 B-12 B-21 B21B1-1B12), where B-1 and B-1(2) + B12B21 are invertible. Several characterizations of the perturbed operators are established, extending matrix results. We analyze the perturbation of the Drazin inverse and we provide explicit upper bounds of parallel to B-# - A(D)parallel to and parallel to BB# - A(D)A parallel to. We obtain a result on the continuity of the group inverse for operators on Banach spaces