Criptografía de curvas elípticas. Fundamentos matemáticos e implementación

Abstract

En el presente trabajo se han presentado los fundamentos matemáticos necesarios para la implementación de una biblioteca de manejo de las curvas elípticas y sus aplicaciones para la criptografía. Comenzaremos exponiendo el concepto de grupo, fundamental en todos los tipos de criptografía. Seguidamente, presentaremos los conceptos de anillo y cuerpo, indispensables para definir las curvas elípticas. Centraremos nuestro estudio en los grupos y cuerpos finitos, ya que estos son las estructuras matemáticas detrás de la inmensa mayoría de algoritmos criptográficos actuales. Una vez sentadas las bases necesarias, presentaremos la definición formal de las curvas elípticas y la estructura de grupo que se puede definir sobre los puntos de las mismas. Con estas herramientas procederemos a implementar una librería criptográfica que nos permita trabajar con estos conceptos matemáticos, así como implementar algoritmos de criptografía asimétrica basados en las curvas elípticas. Se esbozarán también unos ataques al logaritmo discreto, la base de la seguridad de la criptografía de curvas elípticas. Finalmente, presentaremos los algoritmos criptográficos implementados y el diseño e implementación de la librería software. Abstract: In this project we give an overview of the mathematical foundations necessary for the implementation of a library for working with elliptic curves, as well as their applications for cryptography. We begin by introducing the concept of the group, which is the basis for all modern standard cryptosystems. Following this, we expand the group concept by introducing rings and fields. We will focus our study on finite groups and fields, since these are the mathematical constructs behind most, if not all, cryptographic algorithms. Following this introduction, we will give the formal definition for an elliptic curve, as well as the group structure that can be defined over its points. Having these tools at hand, we can proceed with the implementation of the software library, which will allow us to work with the concepts defined previously, as well as implementing a selection of cryptographic algorithms based on elliptic curves. We will also sketch some attacks on the discrete logarithm problem, the basis of the security of elliptic curve cryptography. Finally, we will give some examples with the implemented cryptographic algorithms and we shall introduce the design and implementation of the software library.