Proyectividades. Inversión.

Abstract

En el Capítulo I, se parte, en la Lección 1, de un concepto casi elemental, como es el de rectas antiparalelas, que con toda naturalidad nos establecen teoremas tan sencillos como útiles en todo lo que sigue; los del cateto, de la altura, el de Pitágoras y el de Thales, de los que se deducen un buen número de propiedades geométricas. La Lección 2 ataca un concepto importante en sí mismo y en lo que ha de seguir: La inversión en el plano. Como siempre, los ejemplos que siguen están planteados para aclarar cualquier duda sobre el mismo. En el Capitulo II, en las lecciones de que consta, se establecen las definiciones de razón simple de tres puntos y razón doble de cuatro puntos, y partiendo de lo que se entiende por coordenadas cartesianas en la recta, nos aparecen las coordenadas baricéntricas, las proyectivas, y su relación entre ellas. En el Capitulo III, se establecen lo que se entiende por figuras de primera, segunda y tercera categoría, y lo que es relativamente importante, el concepto de proyectividad entre series rectilíneas, y los distintos tipos que pueden presentarse: hiperbólicas, parabólicas y elípticas, para terminar con una lección dedicada, íntegramente, a las involuciones. En el Capítulo IV, se trabaja con la proyectividad entre figuras de primera categoría, destacando, por sus aplicaciones, el Teorema de Fregier, y sobre todo los de Pascal y Brianchon. Termina el capítulo resolviendo, con extraordinaria facilidad, un problema métrico que fue objeto de discusión de grandes geómetras: El problema de Castillón. En el Capítulo V, se plantea el tema de las coordenadas en el plano proyectivo: Puntuales, tangenciales y su asociación. Se dedica una lección a los Teoremas de Desargues, y se termina con otra, que nos da una interpretación euclídea de las coordenadas proyectivas. En el Capítulo VI, se establecen y desarrollan conceptos importantes: La homotecia, la potencia en la circunferencia y la polaridad en la misma. Así mismo, se dedica una lección para resolver el tema de la inversión, con nuevas aplicaciones. La última lección se dedica al establecimiento de una circunferencia por condiciones de tangencia, y se termina con la determinación de las circunferencias tangentes a otras tres dadas; el conocido como problema de Apolonio. Anticipando el contenido del Tomo II, que como he comentado antes, no es sino la continuación natural de este primero, se estudian, en él, los siguientes temas: Los teoremas de Simson, Feuerbach, Menelao y Ceva, dedicándose una especial atención a las semimedianas y sus propiedades. Se tratan, así mismo las circunferencias de Lemoine , Taylor , Tucker , Brocard y Neuberg , así como los teoremas de Ptolomeo y Pappus. VI Se replantean, también, los teoremas de Pascal y Brianchon como correlativos. Se estudian las homografías entre planos superpuestos, con una especial dedicación a las homologías; y generalizando la proyectividad al espacio, se termina con una lección dedicadas exclusivamente a la sucesión de Fibonacci, y al denominado número de oro. [Extracto del prólogo del autor].