El método de Newton para la determinación de raíces múltiples

Abstract

El presente proyecto trata sobre el método de Newton y su aplicación a la determinación de raíces de un polinomio y sus cuencas de atracción. En particular se tratará el caso de raíces múltiples de polinomios. Este trabajo se enmarca dentro del área de los Sistemas Dinámicos y la Geometría Fractal. Se introducirán nociones básicas de la dinámica compleja y el método de Newton para el cálculo de raíces, que se aplicará al cálculo de raíces complejas de polinomios y a la determinación de las cuencas de atracción de cada una de las raíces. En particular, en el caso de raíces múltiples, se estudian e implementan varios métodos para la determinación de raíces y sus cuencas de atracción, y se compararán los tiempos de computación de cada uno de los métodos y la velocidad de convergencia de cada uno de ellos sobre raíces múltiples y las otras raíces. Para determinar gráficamente las cuencas de atracción de cada una de las raíces se implementa un algoritmo y, además, se ilustra un caso concreto en el que dos raíces se aproximan hasta formar una raíz doble. Este Trabajo de Fin de Grado se ha dividido en dos partes: en la primera de ellas se presenta el método de Newton en el campo de los números reales y complejos y, en la segunda parte, se estudia la aplicación del método de Newton para encontrar las raíces múltiples de un polinomio y otras generalizaciones del mismo.---ABSTRACT---The present project studies Newton’s method and its application to the root determination of a polynomial and its basins of attraction. In particular, we will study the case of multiple polynomial roots. This work falls within the area of Dynamic Systems and Fractal Geometry. Basic notions of complex dynamics and Newton’s method for root calculation will be introduced, which will be applied to the calculation of complex polynomial roots and the determination of the basins of attraction for each root. In order to analize multiple roots, we will study and implement various methods to determinate a root and their basins of attraction. This study will compare the computing time of each method and their speed of convergence, on multiple roots and the other roots. To determine graphically the basins of attraction for each root, an algorithm is implemented. Moreover, it is shown a specific case in which two roots approach to form a double root. This paper has two diferent parts. Firstly, we pay attention to Newton’s method in the field of real and complex numbers. The second part of the paper studies the application of Newton’s method to find the multiple roots of a polynomial and other generalizations of it.