Desarrollo de herramientas de soporte a un curso OCW-UPM sobre resolución de ecuaciones diferenciales mediante simetrías de Lie

Abstract

El presente Trabajo de Fin de Grado (en adelante TFG o trabajo) se encarga de introducir en la docencia el método de simetrías de Lie para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Al ser un método poco utilizado y relativamente desconocido en el entorno académico actual, se ha decidido dividir el proyecto en diferentes módulos que lo hagan más atractivo y funcional de cara al público docente, tanto a los alumnos como a los profesionales de la enseñanza que deseen incluirlo en sus lecciones. Este método supone a las ecuaciones diferenciales lo que el método de Galois a las ecuaciones algebraicas, consistente en aprovechar la existencia de simetrías inherentes a estas ecuaciones para simplificar su resolución transformándolas en otras resolubles. Estas simetrías son en ocasiones apreciables y representables gráficamente, dotando al método de una belleza intrínseca. Además, otra gran ventaja es que proporciona un enfoque abstracto y conceptual que va más allá de la colección de recetas y/o métodos de resolución de las ecuaciones. Estos procedimientos han estado fuertemente influenciados por los problemas planteados y resueltos en la evolución histórica de la materia durante el siglo XVII y la primera mitad del XVIII, que han llegado hasta nuestros días dejando un panorama disperso y no cohesionado de métodos aislados para resolver ciertos tipos de ecuaciones. Este problema se soluciona en parte con el método de Lie, pues muchos de los problemas con procedimiento propio pueden descomponerse a través de las simetrías. Así, se convierte en un método más general y potente, presentando una alternativa a las recetas exclusivas tradicionales. Para demostrar su gran potencial, el primer capítulo introduce los instrumentos principales utilizado durante todo el trabajo. Se trata de dos librerías del lenguaje de programación Python, con las cuales se ha realizado una serie de test a una batería de 88 ecuaciones, conocida como conjunto Kamke, en referencia al autor del libro del cual se han extraído. El objetivo de estos experimentos es analizar la calidad de la implementación del método de Lie en estas librerías. Los resultados obtenidos son sorprendentemente buenos, consiguiendo resolver 22 de las ecuaciones con éxito (un 25%), contando además con la presencia de 5 ecuaciones exclusivas que no podrían ser resueltas sin utilizar sus simetrías. Si además añadimos aquellas ecuaciones que se han resuelto reduciéndolas a cuadraturas, el porcentaje asciende a un 62% (58 ecuaciones). Para 28 de ellas, el método de Lie es el único que es capaz de hallar la solución explícita o reducida a cuadraturas. Se proporciona en el segundo capítulo unos contenidos docentes desarrollados con el enfoque de convertirse en un curso OpenCourseWare (OCW en adelante) según la normativa de la Universidad Politécnica de Madrid. Este tipo de cursos online se caracterizan por cumplir una serie de requisitos comunes en cuanto a forma y contenido, que los hacen fácilmente accesibles por todo aquel que desee cursarlos, siendo además de manera gratuita. Los contenidos cubren desde algunos aspectos teóricos básicos en materia de ecuaciones diferenciales, hasta la explicación del propio método de Lie para ilustración del lector. En posteriores capítulos se describen las herramientas informáticas de soporte que se han diseñado y desarrollado específicamente para dicho curso. Se pretende dar una primera forma a los contenidos docentes a impartir incluyéndolos en un curso oficial del espacio Moodle de la Universidad Politécnica de Madrid para darle mayor visibilidad y facilidad de acceso. A su lado, porta el estandarte principal la aplicación DELHI, programada utilizando las librerías Python mencionadas. Consta de diferentes apartados que permiten al usuario experimentar con el método de las simetrías con aproximaciones diferentes para ayudarle a completar su formación y poner en práctica los conocimientos descritos en los capítulos teóricos. Por último, este trabajo incluye en su capítulo final una versión preliminar de las herramientas web de soporte, que sustituyan en un futuro a la aplicación de escritorio que se ha diseñado. Al tener los contenidos docentes la meta de convertirse en un curso OCW oficial, se concibe como necesaria la adaptación a una versión web de la aplicación DELHI. Esto permite un acceso libre desde cualquier parte, sin necesidad de contar con acceso a Moodle ni descargar una aplicación. Sin embargo, tanto por razones de alcance como por limitaciones técnicas de la funcionalidad web, se ha decidido apostar por un desarrollo más completo en DELHI que muestre todo su potencial, quedando como línea de expansión su adaptación web. Puede accederse a las versiones beta con el usuario y contraseña indicados en el capítulo 9. Por todo lo expuesto, se ha de destacar el deseo de sacar a colación las simetrías de Lie e incluirlas en la docencia de los cursos actuales, pues su aprendizaje ha pasado a considerarse muy recomendable a nivel universitario.