Integrales de Riemann y Lebesgue

Abstract

En el Análisis Real, la integral de Riemann supuso un gran progreso tras ser la primera base sólida sobre la cual se desarrolló la integral. Prueba que es el área localizada bajo la curva de cualquier función acotada definida sobre un dominio cerrado y acotado. El matemático Bernhard Riemann realizó esta aproximación mediante la división en rectángulos del dominio, a lo que denominó sumas de Riemann. Se dice que la función es integrable Riemann cuando el extremo superior del conjunto de las sumas inferiores coincide con el extremo inferior de las sumas superiores. A pesar del gran avance, la integral de Riemann conllevó algunas limitaciones, entre ellas su mal comportamiento en ciertos procesos de convergencia. Por ello, posteriormente, el francés Henri Lebesgue reformuló el concepto de la integral de Riemann y la extendió a una clase más amplia de funciones reales llamadas funciones medibles. Para llevar a cabo el estudio de la integral de Lebesgue es preciso hacer previamente un análisis de la Teoría de la Medida, puesto que se asienta en el concepto de medida, que no es más que una función que da una idea de su "tamaño". Así se podrá establecer cuáles son los conjuntos medibles. Una vez hecho este estudio, se define una función medible en el sentido de Lebesgue como su aproximación por combinaciones lineales de funciones características de conjuntos medibles. La integral de Lebesgue, a diferencia de la integral de Riemann, realiza la aproximación de la integral mediante la división en rectángulos del rango. Fue el mismo Lebesgue quién propuso la siguiente analogía que clarifica la diferencia entre ambos procedimientos: si en una mesa se tiene gran cantidad de monedas, Riemann dividiría la mesa en trozos y después contaría las monedas que se hallan en cada uno de ellos, mientras que Lebesgue clasificaría primero las monedas y después las contaría. Asimismo, Lebesgue prueba que el límite puntual de una sucesión de funciones medibles y uniformemente acotadas definidas en un conjunto medible es integrable, y su integral es el límite de las integrales de los términos de la sucesión.---ABSTRACT---In Real Analysis, the Riemann integral was a major breakthrough after being the first solid basis on which the integral was developed. It proves that it is the localised area under the curve of any bounded function defined over a closed and bounded domain. The mathematician Bernhard Riemann made this approximation by dividing the domain into rectangles, which he called Riemann sums. The function is said to be Riemann integrable when the upper end of the set of lower sums coincides with the lower end of the upper sums. Despite the breakthrough, the Riemann integral had some limitations, among them its bad behaviour in certain convergence processes. For this reason, later, the Frenchman Henri Lebesgue reformulated the concept of the Riemann integral and extended it to a wider class of real functions called measurable functions. In order to carry out the study of the Lebesgue integral, it is necessary to first analyse the Theory of Measurement, since it is based on the concept of measurement, which is nothing more than a function that gives an idea of its "size". In this way, it will be possible to establish which are the measurable sets. Once this study has been carried out, a measurable function in the sense of Lebesgue is defined as its approximation by linear combinations linear combinations of characteristic functions of measurable sets. The Lebesgue integral, in contrast to the Riemann integral, approximates the integral by dividing the range into rectangles. It was Lebesgue himself who proposed the following analogy that clarifies the difference between the two procedures: if a large number of coins were on a table, Riemann would divide the table into pieces and then count the coins in each piece, whereas Lebesgue would first sort the coins and then count them. Likewise, Lebesgue proves that the point limit of a succession of measurable and uniformly bounded functions defined on a measurable set is integrable, and its integral is the limit of the integrals of the terms of the succession.