Sistemas diferenciales lineales con coeficientes periódicos y estabilidad de soluciones periódicas

Abstract

Este trabajo consiste en el estudio de los sistemas diferenciales lineales periódicos y la existencia y estabilidad de sus soluciones periódicas. En primer lugar se introducen las definiciones, resultados auxiliares y la teoría fundamental de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Posteriormente, el estudio acerca de estos sistemas se divide en dos partes, una dedicada a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales periódicas homogéneas y no homogéneas y una última en la que se es estudian los sistemas autónomos. La primera parte se fundamenta en el estudio de la teoría de Floquet. El teorema de Floquet nos ofrece una representación alternativa de una matriz fundamental de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales periódicas homogéneas, que nos facilitará, posteriormente, el estudio de la estabilidad y la existencia y la forma de las soluciones periódicas. El estudio de la estabilidad de las soluciones de los sistemas periódicos, se reduce al estudio de la estabilidad de las soluciones de un sistema de coeficientes constantes equivalente, obtenido por un cambio de variable, el cual se puede realizar si se conoce la forma normal de Floquet de una matriz fundamental del sistema periódico. Por otra parte, los conceptos de multiplicadores característicos o de Floquet y exponentes característicos o de Floquet nos facilitan el estudio de la forma y la existencia de soluciones periódicas en estos sistemas. Posteriormente, se realiza el estudio de la existencia de soluciones periódicas en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales periódicas no homogéneas. Para ello, utilizamos algunos conceptos, como el de los multiplicadores característicos, vistos en la parte anterior. Finalmente, la última parte consiste en el estudio de los sistemas autónomos en profundidad. Con una introducción de algunos conceptos previos como el flujo, puntos críticos, linealización y órbitas, pasamos al desarrollo de la aplicación de Poincaré. Está aplicación la utilizamos principalmente para el estudio de la estabilidad de las órbitas de un sistema autónomo, ejemplificando esto con una serie de problemas dependientes de un parámetro.---ABSTRACT---This Final Degree Project is a study about periodic systems of linear differential equations and the existence and stability of its solutions. First of all, there is an introduction with the definitions, auxiliary results and fundamental theory related to systems of differential equations. Subsequently, the project is divided in two parts, one of each other dedicated to a specific type of the systems mentioned before. The main study of the first part is the Floquet Theory. Floquet theorem offers us an alternative representation of a fundamental matrix of a perdiodic system of linear homogeneous differential equations. This alternative representation will allow us to address the study of the stability and existence of the solutions. The solutions stability study of the periodic systems is reduced to the solutions stability study of an equivalent constant system. This constant system is obtained thanks to the Floquet Normal Form. On the other hand, the characteristic multipliers and characteristic exponents make the study about solutions form and existence easier. The final part of this chapter focus on the existence of periodic solutions of the periodic systems of nonhomogeneous linear differential equations. For this porpuse, concepts mentioned before are used (for example, the characterstic multipliers). The study is concluded with the autonomous systems in the last part. This part begins with the introduction of concepts like the flow, linearization and orbits. Then, it continues with the Poincaré map, a map used for the orbits stability study of an autonomous system. Finally, the study ends with some applications of this map.