Propiedades matriciales de transformadas discretas en aplicaciones de muestreo comprimido

Resumen

Este trabajo trata sobre el muestreo comprimido, un campo de matemática aplicada que nació recientemente pero ha tenido un profundo impacto en el procesamiento de señales, cuyos resultados han afectado a multitud de campos en la industria, telecomunicaciones y medicina. Tradicionalmente, la compresión de señales se hacía con la metodología consistente en adquirir la información completa de la señal para luego transformarla al dominio de Fourier donde realizar la compresión. Estos datos son los usados para comunicación y almacenamiento. La reconstrucción de la señal se hace con una transformación inversa, de nuevo al dominio espacial o temporal según corresponda. La propiedad fundamental que han de cumplir las señales para ser sujeto del muestreo comprimido es que sean dispersas en algún dominio (en el ejemplo, es el de la frecuencia), algo que se cumple de forma mayoritaria para las señales habituales en ingeniería. Que sean dispersas significa que se puedan representar con un número pequeño de elementos distintos de cero y una mayoría de elementos nulos. El objetivo que tiene es el muestreo de solo una parte pequeña de la señal para obtener directamente los coeficientes ya comprimidos mediante un proceso computacionalmente más complejo que el anterior pero que permite simplificar la toma de medidas. El proceso se describe con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales infradeterminados (más incógnitas que ecuaciones), por lo que se han de satisfacer unas restricciones concretas para poder obtener la solución deseada. Estas restricciones las marcan unas propiedades que han de cumplir las matrices con las que se hacen estas transformaciones a los dominios dispersos y las matrices que modelan la toma de datos, buscando una reconstrucción exacta o perdiendo la mínima cantidad de información. Este trabajo de fin de máster analiza algunas de estas propiedades para distintas configuraciones de las transformada discretas del coseno (DCT) y de Fourier (DFT) unidimensionales.