Geometría hiperbólica: desarrollo de herramientas en Grasshopper

Resumen

En este trabajo se crea un paquete de herramientas hiperbólicas para el modelo del disco de Poincaré con Grasshopper, extensión del programa Rhinoceros. Para ello se hace una introducción a la geometría hiperbólica y, en particular, al modelo del Disco de Poincaré. La memoria refleja todo el proceso de investigación inicial de esta rama de las matemáticas, incluyendo un breve repaso de la historia de la geometría y del estudio del quinto postulado de Euclides, que marcó el comienzo de las geometrías no euclidianas. La creación de las herramientas va necesariamente vinculada a una compresión previa de la geometría. En el trabajo se introducen unas nociones básicas sobre los modelos hiperbólicos, los cuales permiten articular la correlación entre las diferentes geometrías. Con un especial interés por el Disco de Poincaré, se analizarán algunos de los elementos y movimientos geométricos más importantes, así como su representación en el plano, para su posterior aplicación en las construcciones de Grasshopper. De esta manera, se realizan un total de veintiuna herramientas que permiten la elaboración de dibujos en geometría hiperbólica, de una manera directa. Para una mejor comprensión del plano hiperbólico, se hace una exploración sobre la elaboración del modelo físico de las superficies hiperbólicas, llegando a la construcción de un modelo propio.
In this paper, a toolkit of hyperbolic tools is created for the Poincaré Disc model with Grasshopper, an extension of the Rhinoceros program. For that purpose, a simple introduction to hyperbolic geometry, specifically, to the Poincaré Disc model is made. The report reflects the entire initial research process of this branch of mathematics, including a brief review of the history of geometry and the study of Euclid’s fifth postulate, whose conclusions will mark the beginning of non-Euclidean geometries. The creation of the tools is necessarily linked to a previous understanding of geometry. In this paper, some basic notions about hyperbolic models are introduced, which will allow us to articulate the correlation between the different geometries. With a special interest in the Poincaré Disc, some of the most important geometric elements and movements will be analysed, as well as their representation in the plane, for their later application in the constructions of Grasshopper. In this way, a total of twenty-one tools are created, that will allow to draw in hyperbolic geometry in a direct way. For a better understanding of the hyperbolic plane, a study of the physical model of the hyperbolic surfaces has been made, leading us to the construction of our own model.