Ecuaciones diferenciales en predicción climática y dinámica de poblaciones

Abstract

El objetivo de este trabajo es realizar un estudio de dos sistemas de ecuaciones diferenciales de gran importancia: los sistemas de Lotka-Volterra y el sistema de Lorentz. Los primeros modelizan algunas situaciones relevantes en dinámica de poblaciones, y el segundo modeliza algunos aspectos relevantes sobre el comportamiento de la atmósfera y el clima. Previamente al estudio de estos sistemas desarrollamos algunos de los resultados más importantes sobre teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales: el teorema de existencia y unicidad, el teorema de linealización de Hartman-Grobman, el teorema de las variedades estable e inestable, y el de PoincaréBendixson. Tras el estudio de estos resultados generales, abordamos los modelos de LotkaVolterra desde un punto de vista cualitativo. Primero se estudia la existencia de equilibrios y su carácter atractivo o repulsivo; luego, la de orbitas periódicas. Finalmente se interpretan brevemente estos resultados desde el punto de vista de la biología. A continuación, se estudia el sistema de Lorentz, el cual modeliza de forma simplificada el comportamiento del clima, siendo de gran importancia teórica porque fue de los primeros ejemplos de sistemas dinámicos continuos provenientes de la naturaleza donde se observó un comportamiento caótico. Las órbitas de este sistema convergen al famoso atractor de Lorentz, que es un subconjunto fractal del espacio euclideo que atrae a las órbitas. Gracias al uso de software informático podemos dar una descripción gráfica de este importante atractor.---ABSTRACT---The aim of this thesis is the study of two important systems of differential equations: the Lotka-Volterra systems and the Lorentz system. The former give a model for some relevant cases from population dynamics, and the latter offers an interesting model for studying some relevant aspects of the behaviour of the atmosphere. Previously, we develop some of the most important results from the qualitative theory of differential equations: the existence and uniqueness theorem, Hartman-Grobman’s linearization theorem, the stable and unstable submanifolds, and the Poincaré-Bendixson theorem. After these general results, we tackle the Lotka-Volterra systems from a qualitative point of view. We study the existence of equilibria and periodic orbits and its attractive or repulsive behaviour. Finally, a brief biological interpretation of the results is given. Finally, we study the Lorentz’s system, which represents a simplified model for climate evolution. It is of great theoretical importance since it was among the first examples where a chaotic behaviour was observed in a continuos dynamical system arising from nature. The orbits of this system converge to the famous Lorentz attractor, a fractal set of Euclidean space that attracts the orbits. We can give a graphical representation of this important attractor thanks to the use of mathematical software.