Modelos matemáticos que describen la evolución de epidemias

Carrasco Moreno, Rebeca (2021). Modelos matemáticos que describen la evolución de epidemias. Proyecto Fin de Carrera / Trabajo Fin de Grado, E.T.S. de Ingenieros Informáticos (UPM), Madrid, España.

Description

Title: Modelos matemáticos que describen la evolución de epidemias
Author/s:
  • Carrasco Moreno, Rebeca
Contributor/s:
  • López de la Cruz, Javier
Item Type: Final Project
Degree: Grado en Matemáticas e Informática
Date: May 2021
Subjects:
Faculty: E.T.S. de Ingenieros Informáticos (UPM)
Department: Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones
Creative Commons Licenses: Recognition - No derivative works - Non commercial

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Abstract

El control de las epidemias supone un gran desafío para científicos de muy diferentes áreas, como se ha podido comprobar recientemente en el caso de la COVID-19, tanto a nivel nacional como internacional. Desde la irrupción de la epidemia en nuestras vidas, la población ha podido ver la gran relevancia de las Matemáticas a la hora de predecir la evolución de la pandemia y proporcionar información que ayude en la toma de decisiones, con el objetivo de reducir el impacto de la misma, tanto a nivel sanitario como a muchos otros que pueden ser también de interés para la población. Un claro ejemplo de ello ha sido el gran número de conceptos, nuevos para muchos de nosotros, que han ido apareciendo en los últimos meses en relación con la crisis sanitaria derivada de la COVID-19, como son el concepto de curva, pico, número de reproducción básico o coeficiente de transmisión del virus, por nombrar algunos de los más mencionados. Todos estos conceptos no sólo surgen en el ámbito sanitario sino también en el matemático, como podrá verse a lo largo de esta memoria. Los modelos matemáticos son una potente herramienta que nos permite conocer de antemano el impacto que puede llegar a tener una pandemia y los resultados que tendrán las medidas de contingencia (tanto sanitarias como de distanciamiento social) que se apliquen, sin tener que implantar medidas y esperar a ver su efecto, como si de un ensayo se tratase. Por esta razón, es preciso estudiar estos modelos y así conseguir reducir las pérdidas humanas y evitar el colapso del sistema sanitario junto con las consecuencias que esto conlleva. No obstante, el uso de las Matemáticas en Epidemiología no es una novedad, de hecho, el uso de éstas ha sido imprescindible en muchas otras ocasiones en las que la sociedad ha sido sacudida por una epidemia. Con el transcurso de los años, ha aumentado el interés por la construcción de modelos matemáticos que explicasen la evolución de epidemias, siendo clave el año 1927. Ese año marcó un antes y un después en este campo, con los modelos compartimentales tipo SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado) propuestos por Kermack y McKendrick. En el presente proyecto, que se engloba dentro del área de Matemática Aplicada y Análisis Matemático, partiremos del modelo clásico propuesto por Kermack y McKendrick, introduciendo dinámica vital para obtener un modelo más realista. Posteriormente, se hará depender del tiempo a uno de los parámetros con esa misma finalidad. Ambos modelos se estudiarán matemáticamente y se obtendrán condiciones bajo las cuales se lograría la erradicación de la epidemia, o bien se transformaría en endémica. Todo ello será demostrado bajo el marco teórico de los sistemas dinámicos autónomos y no autónomos y la teoría de atractores globales y atractores pullback, aportando además simulaciones numéricas con las que se ilustrarán los resultados obtenidos.---ABSTRACT---The control of epidemics supposes a major challenge for scientists in many different areas, as recently seen in the case of the COVID-19, both nationally and internationally. Since the arrival of the epidemic in our lives, society has become aware of the relevance of Mathematics in predicting the evolution of the pandemic, as well as providing information to help in the decision making in order to reduce its impact, both at the health level and many other areas that population may also be interested in. A clear example of that is the amount of concepts, new to many of us, that arised in the last few months related to the health crisis caused by the COVID-19, such as curve, peak, basic reproduction number or virus transmission coefficient, to name some of the most known. These notions do not only appear in the health field but also in the mathematical one, as we will see in this project. Mathematical models provide a powerful tool that allows us to know in advance the impact of a pandemic, as well as the results of the contingency measures (such as health measures and social distancing), without having to apply them and wait to examine their effect, as if it was a trial. That is the reason why it is vital to study these models in order to reduce human losses and avoid the collapse of the health system and all the consequences that this situation entails. However, the use of Mathematics in Epidemiology is not new, in fact, it was essential in many other occasions when the society suffered an epidemic. Over the years, interest in the construction of mathematical models to explain the evolution of epidemics has increased, being 1927 a crucial year that marked a breakthrough in this field with the SIR (Susceptible-Infected-Recovered) compartmental models proposed by Kermack and McKendrick. In this study, which belongs to the area of Applied Mathematics and Mathematical Analysis, we start with the classical model proposed by Kermack and McKendrick, introducing vital dynamics to make it more realistic. Consecutively, one of the parameters will be made time-dependent for the same purpose. Both models will be mathematically studied and conditions under which the pandemic would be eradicated or become endemic will be obtained. Everything will be proved in the theoretical framework of autonomous and non-autonomous dynamical systems and the theory of global and pullback attractors. Moreover, numerical simulations will be provided to illustrate the results.

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Item ID: 68538
DC Identifier: https://oa.upm.es/68538/
OAI Identifier: oai:oa.upm.es:68538
Deposited by: Biblioteca Facultad de Informatica
Deposited on: 13 Sep 2021 10:04
Last Modified: 13 Sep 2021 10:04
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