Accelerating High-Order Discontinuous Galerkin solvers using Neural Networks

Resumen

El método high order Discontinuous Galerkin genera soluciones muy precisas al aumentar el orden polinómico dentro de cada elemento. Incluso cuando la solución deseada requiere sólo los modos de bajo orden de la misma, estos todavía se ven afectados por los modos de alto orden y por lo tanto no pueden ser despreciados. El efecto de estos modos de alto orden puede verse como un término fuente en un problema en el que sólo se considera la solución de bajo orden. El autor propone modelar el término fuente con una red neuronal y obtener una evolución precisa de los modos de bajo orden con menos grados de libertad y menos restricciones de paso de tiempo con el objetivo de reducir el coste computacional de las simulaciones. En este trabajo de fin de máster, se desarrolla matemáticamente la metodología y se prueba con la ecuación de Burgers en 1D y las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles en 3D en un caso de prueba de Taylor Green Vortex. High order Discontinuous Galerkin methods generate very accurate solutions when increasing the polynomial order inside each element. Even when the desired solution requires only the low order modes from the solution, they are still affected by the high order modes and hence cannot be neglected. The effect of these high order modes can be seen as a source term in a problem where only the low order solution is considered. We propose to model the source term with a neural network and get an accurate evolution of the low order modes with less degrees of freedom and less time step restrictions in order to speed up the computations. Based on these ideas, in this final master thesis, we develop and test a new methodology with the 1D Burgers’ equation and the 3D compressible Navier-Stokes equations in a Taylor Green Vortex test case.