Modelos matemáticos en epidemiología para estudiar diferentes estrategias de vacunación

Resumen

Las pandemias y epidemias han sido un acompañante más que problemático para la humanidad a lo largo de la historia. Este problema supone un reto multidisciplinar que en la actualidad se enfrenta con herramientas de numerosos campos y sectores, entre ellos las Matemáticas. Gracias a ellas podemos disponer de un poder de prevención ante la enfermedad y estudiar su comportamiento con detalle, lo que nos permite preveer las consecuencias con suficiente antelación y actuar para poder minimizar los posibles daños. Esto podría quedar como una aplicación de las Matemáticas muy alejada de cualquier suceso real, si no fuera porque toda la población ha sido recientemente víctima de una pandemia con consecuencias devastadoras para todos, en todos los niveles: social, político y económico. La COVID-19 hizo que todos estuviéramos pendientes de la situación global y de cómo iba a ir evolucionando en las semanas siguientes. Así, pudimos escuchar algunos conceptos como inmunidad de rebaño, pico de la curva o coeficiente de transmisión. Todos ellos se acaban relacionando íntimamente con las Matemáticas y, algunos de ellos, acaban siendo parámetros claves para poder hacer frente de manera efectiva a la epidemia. Para poder dar una solución a nuestro problema, primero necesitamos obtener un modelo matemático que nos permita simular la realidad. Estos modelos resultan ser una herramienta vital para poder estudiar y analizar qué pasará en un futuro con un determinado problema, y, lo que es más importante, nos permite saber también qué impacto o consecuencias tendrán nuestros actos sobre el modelo planteado. Así, en el ámbito de la Epidemiología, resulta clave saber si las medidas de contingencia impuestas por las autoridades sanitarias serán realmente útiles y cumplirán con el objetivo propuesto, eliminar la enfermedad y salvar vidas. El modelado matemático no es una novedad, ni siquiera en Epidemiología. Desde hace siglos, los científicos han intentado explicar algunos fenómenos de la naturaleza por medio de los modelos matemáticos. Durante años, el interés por esta herramienta ha ido aumentando y, en el año 1927, surgió el modelo más importante para el estudio de epidemias. Este modelo fue el modelo SIR (por sus siglas SusceptibleInfectado-Recuperado), propuesto por Kermack y McKendrick. El modelo SIR clásico marcó un antes y un después en el ámbito de los modelos epidemiológicos. En este trabajo, perteneciente al área del Análisis Matemático y la Matemática Aplicada, comenzaremos explicando el modelo SIR clásico propuesto por los dos autores mencionados. Después introduciremos dinámica vital para obtener un modelo más fiel a la realidad. Finalmente, añadiremos a este último, vacunación a neonatos. De esta forma podremos analizar el impacto de la vacunación frente a una enfermedad. Los dos modelos se estudiarán desde un punto de vista matemático haciendo uso de la teoría de los sistemas dinámicos autónomos y, en concreto, nos ayudaremos del concepto de atractor global para poder sacar conclusiones de la enfermedad y su evolución. De esta forma podremos ver bajo qué condiciones la enfermedad podrá ser erradicada o volverse endémica y, en base a ello, poder tomar las medidas necesarias. Finalmente, es muy necesario destacar la importancia de la cooperación entre diferentes expertos del área de las Matemáticas y del resto de campos para poder evolucionar y crear un desarrollo significativo en todos los ámbitos de la ciencia.

ABSTRACT

Pandemics and epidemics have been a problematic companion for humanity throughout history. Facing this problem requires a multidisciplinary challenge that is currently being addressed with tools from numerous fields and sectors, including Mathematics. Thanks to Mathematics, we can have preventive power against disease and study its behavior in detail, which allows us to anticipate the consequences in advance and act to minimize possible damage. This could be seen as a distant application of Mathematics from any real event, nevertheless the entire population has recently been a victim of a pandemic with devastating consequences for everyone, at all social, political and economic levels. COVID19 made us all aware of the global situation and how it was going to evolve in the coming weeks. Thus, we heard some concepts like herd immunity, peak of the curve, or transmission coefficient. All of them end up intimately related to Mathematics, and some of them become key parameters to effectively deal with the epidemic. To provide a solution to our problem, we first need to obtain a mathematical model that allows us to simulate reality. These models turn out to be a vital tool to study and analyze what will happen in the future with a particular problem, and, more importantly, they allow us to know the impact or consequences that our actions will have on the proposed model. Thus, in the field of Epidemiology, it is crucial to know if the contingency measures imposed by health authorities will be really useful and will meet the proposed objective of eliminating the disease and saving lives. Mathematical modeling is not a novelty, not even in Epidemiology. For centuries, scientists have tried to explain some natural phenomena through mathematical models. Over the years, interest in this tool has been increasing, and in 1927, the most important model for the study of epidemics emerged. This model was the classic SIR model (Susceptible-Infectious-Recovered), proposed by Kermack and McKendrick. The classic SIR model marked a before and after in the field of epidemiological models. In this work, belonging to the area of Mathematical Analysis and Applied Mathematics, we will begin by explaining the classic SIR model proposed by the two mentioned authors. Then we will introduce vital dynamics to obtain a more realistic model. Finally, we will add to this last one vaccination of neonates. In this way, we can analyze the impact of vaccination against a disease. Both models will be studied from a mathematical point of view by means of the theory of autonomous dynamical systems, and specifically, we will use the concept of global attractor to draw conclusions about the disease and its evolution. In this way, we can see the conditions under which the disease can be eradicated or become endemic, then, we can take the necessary contingency measures. Finally, it is essential to highlight the importance of cooperation between different experts in the field of Mathematics and other fields to be able to evolve and create significant development in all areas of technology.