Introducción a las superficies minimales en el espacio euclídeo

Resumen

En este trabajo se presenta un estudio de las superficies minimales en el espacio euclídeo. Dichas superficies se caracterizan por minimizar el área entre todas las que tienen una frontera fija. Su estudio comenzó con el nacimiento de la geometría diferencial en el siglo XVIII con las aportaciones del matemático alemán Gauss, pero no se desarrolló satisfactoriamente hasta el planteamiento del problema de Plateau un siglo más tarde. Dicho problema buscaba encontrar una superficie mínima que cubriera un borde cerrado en un medio líquido. Desde entonces, los matemáticos han estudiado las propiedades de los distintos tipos de superficies minimales, desde el caso trivial del plano, la catenoide y el helicoide, y otras superficies clásicas, como las superficies de Enneper, de Scherk y de Costa, hasta llegar a las superficies descubiertas en el siglo XX como la superficie minimal de Henneberg. El estudio de las superficies minimales ha contribuido al desarrollo de numerosas ramas de las matemáticas, tales como la geometría diferencial, el análisis complejo, el cálculo de variaciones y la teoría de la medida. Los avances en estos campos han llevado a la resolución de problemas complejos y han tenido importantes aplicaciones en la ciencia y la tecnología. Algunas de estas aplicaciones tienen lugar en la física, donde se utilizan las superficies minimales para modelar la forma de burbujas, espumas y membranas; en la ingeniería, donde se aplican para optimizar el diseño de estructuras con cargas mínimas, como las torres de comunicación; y en la biología, donde se utilizan para estudiar la forma de las células y los tejidos. En lo referente a la estructura del trabajo, primero se hará una breve introducción a la historia y al contexto del estudio de las superficies minimales, para después presentar los conceptos esenciales que se requerirán de cálculo y geometría diferencial para el estudio de las superficies minimales. Una vez introducido el concepto de superficie minimal, se estudiarán los principales resultados del análisis complejo en relación con la geometría de dichas superficies. Por último, se presentarán algunos ejemplos de superficies minimales y se ilustrarán casos concretos de la representación de Weierstrass-Enneper.

ABSTRACT

This project presents a study of minimal surfaces in Euclidean space. These surfaces are characterised by the fact that they minimise the area between all those with a fixed boundary. Their study began with the birth of differential geometry in the 18th century, with the contributions of the German mathematician Gauss. But it was not satisfactorily developed until the emergence of Plateau problem. This problem sought to find a minimum surface area covering a closed boundary in a liquid medium. Since then, mathematicians have explored different types of minimal surfaces, from the trivial case of the plane, the catenoid and the helicoid, and other classical surfaces, such as the Enneper, Scherk and Costa surfaces, up to the surfaces discovered in the 20th century such as the minimal Henneberg surface. The study of minimal surfaces has led to the development of many branches of mathematics, such as differential geometry, complex analysis, calculus of variations and measure theory. Advances in these fields have led to the solution of complex problems and have had important applications in science and technology. Some of these applications are in physics, where minimal surfaces are used to model the shape of bubbles, foams and membranes; in engineering, where they are applied to optimise the design of minimally loaded structures such as communication towers; and in biology, where they are used to study the shape of cells and tissues. With regard to the structure of this project, it will be given first a brief introduction to the history and context of the study of minimal surfaces. Afterwards, the essential concepts of calculus and differential geometry that will be required for the study of minimal surfaces will be presented. Once the concept of minimal surfaces has been introduced, the main results of complex analysis in relation to the geometry of these surfaces will be studied. Finally, some examples of minimal surfaces will be presented and concrete cases of the Weierstrass-Enneper representation will be illustrated.