Fundamentos matemáticos de la criptografía en clave pública

Resumen

La criptografía, desde sus inicios en la antigüedad hasta la actualidad, ha sido una poderosa defensa de la privacidad. El arte de codificar y decodificar mensajes ha desempeñado un papel fundamental en la preservación de la información y la confidencialidad. La criptología, estrechamente vinculada a esta, es la ciencia que estudia los principios matemáticos detrás de ella, y ambas son esenciales en el mundo digital. Las matemáticas actúan como pilar fundamental de la criptografía. La relación entre las dos disciplinas se manifiesta en varias ramas de las matemáticas como la teoría de números, el álgebra o la geometría. Estos fundamentos matemáticos son la base sobre la cual se construyen los algoritmos y protocolos que nos ofrecen seguridad en nuestras comunicaciones. En concreto, la teoría de números es muy importante, ya que resuelve muchos desafíos criptográficos. Es por eso que este trabajo se sumergirá en el problema del logaritmo discreto, así como en algoritmos como el de Pohlig-Hellman, que ofrecen herramientas para analizar sistemas criptográficos frente a posibles vulnerabilidades. Este trabajo, basado en los tres primeros temas del libro “An Introduction to Mathematical Cryptography” [10], se centra en el estudio de los fundamentos matemáticos y aplicaciones de la criptografía en clave pública. Con este propósito, se explorarán tres puntos fundamentales: la historia de la criptografía, el Algoritmo de Diffie-Hellman junto con Elgamal, y el criptosistema RSA.

ABSTRACT

Cryptography, from its origins in antiquity to the present day, has been a powerful safeguard for privacy. The art of encoding and decoding messages has played a fundamental role in preserving information and confidentiality. Cryptology, closely linked to this, is the science that studies the mathematical principles behind it, and both are essential in the digital world. Mathematics act as a fundamental pillar of cryptography. The relationship between the two disciplines is evident in various branches of mathematics such as number theory, algebra, or geometry. These mathematical foundations form the basis upon which algorithms and protocols are built to provide security in our communications. Specifically, number theory is crucial as it addresses many cryptographic challenges. That is why this work will delve into the discrete logarithm problem, as well as algorithms like Pohlig-Hellman, which provide tools to analyze cryptographic systems against potential vulnerabilities. This study, based on the first three topics of the book “An Introduction to Mathematical Cryptography” [10], focuses on the exploration of the mathematical foundations and applications of public key cryptography. With this purpose, three fundamental points will be investigated: the history of cryptography, the DiffieHellman Algorithm along with Elgamal, and the RSA cryptosystem.