Hipersuperficies afines y proyectivas: una extensión del estudio de cuádricas a grado arbitrario

Resumen

Este Trabajo de Fin de Grado estudia las hipersuperficies algebraicas en los espacios afín y proyectivo, generalizando el análisis clásico de las cónicas a hipersuperficies de grado arbitrario. Tras una exposición rigurosa de los anillos de polinomios, los ideales y las variedades algebraicas, se introducen las hipersuperficies a través de sus ecuaciones definitorias y se analiza la relación entre sus versiones afines y proyectivas mediante el proceso de homogeneización. El Teorema de los Ceros de Hilbert ocupa un lugar central, ya que establece la correspondencia entre los ideales radicales y los conjuntos algebraicos, proporcionando así una base algebraica sólida para el estudio geométrico de estas variedades.

El trabajo continúa con un análisis local de las hipersuperficies, abordando la multiplicidad de puntos, la estructura del espacio tangente y las condiciones de suavidad o singularidad. Se presta especial atención a las curvas planas, tratadas como hipersuperficies de dimensión uno, utilizando herramientas como la resultante de polinomios para estudiar sus intersecciones. Uno de los resultados clave es el Teorema de Bézout, que afirma que el número de puntos de intersección de dos curvas proyectivas (contados con multiplicidad) es igual al producto de sus grados, siempre que no compartan componentes. El proyecto combina teoría abstracta con ejemplos ilustrativos, ofreciendo una introducción clara y completa a aspectos esenciales de la geometría algebraica clásica.

ABSTRACT

This Final Degree Project investigates algebraic hypersurfaces in affine and projective spaces, generalizing the classical study of conics to hypersurfaces of arbitrary degree. After a thorough exposition of polynomial rings, ideals, and varieties, the work introduces hypersurfaces via their defining equations and explores the connections between their affine and projective representations through the process of homogenization. The Hilbert’s Nullstellensatz is a central result underpinning the correspondence between radical ideals and algebraic sets, providing a rigorous algebraic foundation for the geometric study of hypersurfaces.

The thesis continues with a local analysis of hypersurfaces, examining the multiplicity of points, the structure of tangent spaces, and conditions for smoothness or singularity. It gives special attention to planar curves, treated as one-dimensional hypersurfaces, using tools such as the resultant of two polynomials to analyze their intersections. A highlight of this section is the application of Bézout’s Theorem, which establishes that the number of intersection points of two projective curves, counted with multiplicity, equals the product of their degrees—provided they have no common components. The project balances abstract theory with illustrative examples, offering a self-contained introduction to key aspects of classical algebraic geometry.