Geometría Proyectiva. Programación Lineal. Complementos de un curso de Álgebra Lineal

Resumen

Los temas principales abordados son: Conceptos Fundamentales y Coordenadas en la Recta. El autor establece las bases de la geometría proyectiva a partir de la recta real, extendiéndola mediante la introducción de nuevos sistemas de coordenadas: Abscisas Cartesianas: Se basan en la biyección entre la recta y los números reales mediante un origen (O) y una unidad (U). Se definen conceptos como la distancia entre puntos y la Fórmula de Chasles. Razón Simple y Doble: La razón simple de tres puntos establece una biyección entre los puntos de la recta (excluyendo uno) y los números reales. La razón doble de cuatro puntos es un concepto clave que no varía ante ciertas permutaciones y define la cuaterna armónica cuando su valor es -1. Coordenadas Proyectivas y Baricéntricas: Se introduce el punto impropio para formar la recta proyectiva. Las coordenadas proyectivas utilizan una terna de puntos de referencia (límite, origen y unidad) para establecer una biyección con la recta proyectiva. Proyectividad entre Series Rectilíneas. Se define la proyectividad (o homografía) como toda biyección entre dos rectas que conserva la razón doble: Ecuación Bilineal: Analíticamente, se representa mediante la ecuación $axx' + bx + cx' + d = 0$. Teorema Fundamental: Existe una única proyectividad que hace corresponder tres pares de puntos distintos entre dos rectas. Puntos Dobles e Involución: Una proyectividad puede tener puntos dobles (donde el punto coincide con su imagen), clasificándose en hiperbólica, parabólica o elíptica. La involución es un caso especial donde la correspondencia es doble (si f(X)=X', entonces f(X')=X). Figuras de Primera Categoría. El estudio se amplía a otras formas geométricas básicas: Tipos de figuras: Se definen las series de puntos (base en una recta), haces de rectas (vértice en un punto) y haces de planos (arista en una recta). Conservación de la Razón Doble: Se demuestra que la razón doble se mantiene al seccionar un haz de rectas por una recta o un haz de planos por una recta auxiliar. Coordenadas en el Plano y Dualidad. Se introduce el concepto de Plano Proyectivo ampliando el plano euclídeo con una recta impropia: Coordenadas Homogéneas: Los puntos se representan por ternas $(x_1, x_2, x_3)$ definidas a menos de un factor no nulo. Ley de Dualidad: Es un principio fundamental que permite intercambiar los roles de "punto" y "recta" en las proposiciones geométricas. Así, surgen las coordenadas tangenciales para representar rectas de forma análoga a los puntos. Teorema de Desargues: Establece que si dos triángulos son homológicos desde un punto (sus vértices están alineados con un centro U), entonces sus lados correspondientes se cortan en puntos alineados sobre una recta (eje de homología). Polo y Polar: Se explica la construcción de la polar armónica de un punto respecto a un triángulo utilizando un cuadrilátero completo.