Superficies Weingarten

Resumen

Las superficies Weingarten están caracterizadas por una relación funcional entre sus curvaturas principales o, alternativamente, entre la curvatura de Gauss y la curvatura media. Una familia importante de superficies Weingarten son las de curvatura media constante, que incluyen a su vez a las superficies mínimas.

Habitualmente, se utiliza la noción de curvatura de Gauss para clasificar los puntos de una superficie. Sin embargo, dicha clasificación se puede realizar también a partir de la indicatriz de Dupin, una cónica resultante de la intersección de ciertos planos paralelos al plano tangente con el paraboloide osculatriz. Este paraboloide es una aproximación local de segundo orden de la superficie en un punto y es un objeto geométrico que aparece en libros clásicos de geometría diferencial. A pesar de ello, no se ha encontrado ninguna referencia donde se describa con precisión y claridad el paraboloide osculatriz indicando el sistema de referencia afín utilizado. En este escrito se ha realizado dicha descripción, además de construirlo explícitamente en una series de ejemplos.

Los ejemplos estudiados ilustran una clasificación, no excluyente, que se ha establecido para el desarrollo de este trabajo en cuatro tipos de superficies Weingarten. Se ha dado un especial énfasis a los diagramas de curvatura y a las aproximaciones hasta orden dos de las superficies Weingarten.

ABSTRACT

Weingarten surfaces are characterized by a functional relationship between their principal curvatures or, alternatively, between Gaussian curvature and mean curvature. An important family ofWeingarten surfaces are those of constant mean curvature, which include minimal surfaces.

Usually, the notion of Gaussian curvature is used to classify the points of a surface. However, this classification can also be performed using the Dupin indicatrix, a conic section resulting from the intersection of certain planes parallel to the tangent plane with the osculating paraboloid. This paraboloid is a second-order local approximation of the surface at a point and it is a geometric object that appears in classical differential geometry books. Despite this, no reference has been found that precisely and clearly describes the osculating paraboloid specifying the affine reference system used. In this work, such a description has been provided, along with the explicit construction in a series of examples.

The studied examples illustrate a non-exclusive classification, established for the development of this work, into four types ofWeingarten surfaces. Special emphasis has been placed on curvature diagrams and second-order approximations ofWeingarten surfaces.