Introducción a la Geometría Tropical: fundamentos algebraicos, construcción de variedades y aplicaciones

Resumen

Este trabajo introduce la Geometría Tropical desde sus fundamentos algebraicos hasta sus aplicaciones. Se define primero el semianillo tropical y los polinomios tropicales, cuyos grafos son funciones lineales a trozos. A continuación, se construyen variedades tropicales —empleando valoraciones, formas iniciales y geometría poliédrica— y se formulan y demuestran los dos teoremas centrales: el Teorema Fundamental de Tropicalización y el Teorema de Estructura poliédrica. Finalmente, se ilustra una aplicación práctica mediante la resolución de caminos más cortos en grafos. Se incluyen ejemplos gráficos e implementaciones en Maple para facilitar la intuición y el estudio.

ABSTRACT

This work presents Tropical Geometry from its algebraic foundations to concrete applications. We first define the tropical semiring and tropical polynomials, whose graphs yield piecewise-linear functions. Next, we build tropical varieties using valuations, initial forms, and polyhedral geometry, and we state and prove the two central theorems: the Fundamental Tropicalization Theorem and the Structure Theorem describing their polyhedral complexes. Finally, we showcase a practical application by solving shortest-path problems on graphs. Throughout, graphical examples and Maple implementations are provided to foster intuition and deeper understanding.