Números surreales y juegos

Resumen

El presente Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo definir y demostrar las propiedades de los números surreales, como se verá en el capítulo 2, así como las operaciones entre ellos, recogidas en el capítulo 3. Entender y plasmar estos conocimientos es imprescindible para lograr aplicar estos números a la resolución de ciertos juegos, lo cual se estudiará en el capítulo 4. El trabajo comienza con una introducción en la que se contextualiza el origen de los números surreales, que se remonta a 1937 con el matemático John Horton Conway. Tras analizar las características de los juegos de dos jugadores, Conway llegó a la conclusión de que había juegos que se podían interpretar como la suma de muchos otros más simples y utilizó esta idea para analizar algunos juegos de estrategia. Conway creía firmemente en su idea, una nueva forma de describir todos estos números desde la nada, comenzando desde el 0. A partir de este, se podían construir otros números, siendo estos el 1 y el −1. De la combinación de los anteriores resultaban otros números nuevos y, así sucesivamente dando lugar al infinito. Posteriormente, Jacob A. Lurie, un matemático estadounidense, basándose en las ideas de Conway, describió los números surreales como aquellos que se pueden utilizar para medir la ventaja que tiene un jugador sobre otro en cierto tipo de juegos, como por ejemplo, los juegos combinatorios. El siguiente capítulo se centra principalmente en la definición detallada de los números surreales como un conjunto de números formado por dos coordenadas que, a su vez, son dos conjuntos de números preexistentes. Se demuestran las propiedades que cumplen estos números surreales y, las relaciones que se establecen entre ellos. Una vez demostradas las propiedades básicas, se llega finalmente a la aparición de cuatros números nuevos a los que se denomina: −2, − 1 2 , 1 2 y 2. Para poder definir las operaciones entre estos números surreales que van apareciendo gradualmente, es necesario introducir un conjunto de números aún más amplio, a los que se denomina pseudo-números. Tanto para la suma como para la multiplicación se demuestran las propiedades de asociatividad y conmutatividad, se demuestra también la propiedad distributiva, que relaciona ambas operaciones, así como el elemento neutro y el elemento opuesto de la suma. A través de estas propiedades se llega a la conclusión de que el conjunto de los números surreales con la operación suma es un subgrupo del grupo de los pseudo-números y, como cumple la conmutatividad, es un grupo abeliano que además es compatible con el orden definido (orden total). Y el conjunto de los números surreales con la suma y la operación producto es un subanillo del anillo de los pseudo-números y, como cumple la conmutatividad, es un anillo conmutativo. A continuación, se introduce el concepto de juegos combinatorios. Estos juegos son aquellos en los que participan solamente dos jugadores I y D y cuyos movimientos válidos se expresan como Pi y Pd, dando lugar a la definición de juego como el conjunto de las diferentes opciones de desplazamientos de los jugadores, G = {Pi , Pd}. El final del juego llega cuando alguno de estos dos conjuntos es vacío, es decir, cuando el jugador al que le toca mover ya no dispone de ninguna opción de movimiento. Además, también se refiere a la idea de juegos simultáneos entendidos estos como la suma de los dos juegos componentes, siendo estos más simples. Cada jugador, en su turno, elige uno de los dos juegos y hace en él una jugada válida, luego, le toca escoger al otro jugador y así sucesivamente. Se profundiza en un juego en particular, el juego con Dominoes de Göran Andersson, en el que los jugadores sitúan fichas sobre un tablero dividido en cuadrados, cubriendo éstas dos cuadrados adyacentes. Mientras el jugador I sitúa las fichas verticalmente, el jugador D debe situarlas horizontalmente. En una partida de este juego, suelen quedar espacios vacíos en el tablero, de tal forma que éste queda divido en regiones, por lo que el juego se transforma en una suma de juegos más pequeños. Considerando lo anterior, se ha logrado una implementación del juego descrito previamente a través de la cual podemos obtener un resultado más visual de lo estudiado a lo largo del proyecto. En este se muestran las diferentes situaciones que se pueden dar en función de los movimientos que los jugadores van realizando durante el juego y, dando lugar por tanto a distintas imágenes en las que el tablero aparece dividido en juegos más simples.---ABSTRACT---This Final Degree Project aims to define and demonstrate the properties of surreal numbers, as will be seen in chapter 2, as well as the operations between them, in chapter 3. Understanding and capturing this knowledge is essential to be able to apply these numbers to the resolution of certain games, will be studied in Chapter 4. The project begins with an introduction that contextualizes the origin of surreal numbers, which dates back to 1937 with the mathematician John Horton Conway. After analyzing the characteristics of two-player games, Conway came to the conclusion that there were games that could be interpreted as the sum of many simpler ones, and used this idea to analyze some strategy games. Conway was a strong believer in his idea of a new way to describe all these numbers from scratch, starting with 0. From this, other numbers could be built, these being 1 and −1. Other new numbers resulted from the combination of the previous ones, and so on, giving rise to infinity. Later, Jacob A. Lurie, an American mathematician, based on Conway’s ideas, described surreal numbers as those that can be used to measure the advantage that one player has over another one in certain types of games, such as combinatorial games. The next chapter focuses mainly on the detailed definition of surreal numbers as a set of numbers made up of two coordinates which in turn are two pre-existing sets of numbers. The properties that these surreal numbers meet and the relationships that are established between them are demonstrated. Once the basic properties have been demonstrated, we finally arrive at the appearance of four new numbers which are called: −2, − 1 2 , 1 2 and 2. In order to define the operations between surreal numbers that appear gradually it is necessary to introduce an even larger set of numbers, which are called pseudo-numbers. For both addition and multiplication, the properties of associativity and commutativity are demonstrated, as well as the distributive property that relates both operations and both the neutral element and the opposite element of the sum. Through these properties we reach the conclusion that the set of surreal numbers with the addition operation is a subgroup of the group of pseudo-numbers and, since it complies with commutativity, it is an abelian group that is also compatible with the defined order (total order). And, the set of surreal numbers with the addition and product operation is a subring of the ring of pseudo-numbers and it is also a commutative ring, since it satisfies commutativity. Next, the concept of combinatorial games is introduced. These games are those in which only two players I and D participate and whose valid moves are expressed as Pi and Pd, giving rise to the definition of the game as the set of different options for moving that the two players have, G = {Pi , Pd}. The end of the game comes when one of these two sets is empty, that is, when the player whose turn it is to move no longer has any movement options. In addition, it also refers to the idea of simultaneous games understood as the sum of the two component games, these being simpler. Each player, in his turn, chooses one of the two games and makes a valid move in it, then it is the other player´s turn to choose and so on. This project focuses into one game in particular, Dominoes of Göran Andersson, in which players place tiles on a board divided into squares, covering two adjacent squares. While player I places the tiles vertically, player D must place them horizontally. In this game, there are usually empty spaces on the board dividing it into regions in such a way that the game becomes a sum of smaller games. Considering all the matters previously mentioned, an implementation of the game described above has been achieved, obtaining therefore a more visual result of what was studied throughout the project. This shows the different situations that can occur depending on the movements that the two players make during the game, giving rise to different images in which the board appears divided into simpler games.