Ecuaciones diferenciales aplicadas al crecimiento de tumores sometidos a tratamiento con quimioterapia

Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo abordar el estudio del crecimiento tumoral y su interacción con el sistema inmunológico, así como el efecto de la quimioterapia, mediante modelos matemáticos basados en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. El primer modelo describe la evolución conjunta de células tumorales, linfocitos activos (en caza) y linfocitos en reposo, sin considerar intervención terapéutica externa. El segundo modelo extiende el anterior mediante la incorporación de un agente quimioterapéutico, representado por una cuarta variable, que permite estudiar los efectos del tratamiento farmacológico sobre el sistema. Ambos modelos se han formulado sin considerar retardos temporales en los procesos de activación del sistema inmune, es decir, se asume un retardo nulo. Esta simplificación permite aplicar herramientas clásicas del análisis de estabilidad, facilita la interpretación biológica de los resultados y reduce la complejidad computacional, manteniendo al mismo tiempo la capacidad del modelo para describir las dinámicas fundamentales del sistema. Para ambos modelos, se realiza un análisis cualitativo detallado mediante el estudio de los puntos de equilibrio, determinando bajo qué condiciones existen y son localmente estables. Además, se exploran distintos escenarios clínicamente relevantes mediante simulaciones numéricas, implementadas en MATLAB a través del método de Euler explícito. Los distintos comportamientos del sistema se analizan modificando parámetros clave, como la tasa de activación de linfocitos o la capacidad de carga tumoral. Este enfoque permite identificar condiciones bajo las cuales la respuesta inmunológica natural puede ser suficiente para contener el crecimiento del tumor, así como aquellas en las que resulta necesario recurrir a tratamientos complementarios. El trabajo sienta las bases para futuras investigaciones que incluyan tratamientos combinados o modelado con retardos temporales, con el fin de mejorar la precisión y aplicabilidad clínica de los resultados obtenidos.

ABSTRACT

This work investigates tumor growth and its interaction with the immune system, as well as the effect of chemotherapy, through mathematical models based on systems of ordinary differential equations. The first model describes the joint dynamics of tumor cells, active (hunting) lymphocytes, and resting lymphocytes, without considering any external therapeutic intervention. The second model builds upon the first by including a chemotherapeutic agent, represented as a fourth variable that allows for the analysis of the pharmacological treatment’s effects on the system. Both models are formulated without considering time delays in the activation processes of the immune system; in other words, a zero delay is assumed. This simplification enables the use of classical stability analysis tools, facilitates the biological interpretation of the results, and reduces computational complexity, while preserving the model’s ability to capture the fundamental dynamics of the system. For both models, a detailed qualitative analysis is carried out by studying the equilibrium points and determining the conditions under which they exist and are locally stable. Furthermore, various clinically relevant scenarios are explored through numerical simulations, implemented in MATLAB using the explicit Euler method. The system’s behavior is analyzed by modifying key parameters, such as the lymphocyte activation rate or the tumor’s carrying capacity. This approach helps identify conditions under which the natural immune response may be sufficient to control tumor growth, as well as those where complementary treatments are required. The study lays the groundwork for future research involving combined therapies or models with time delays, aiming to improve the accuracy and clinical relevance of the results obtained.