Fundamentos geométricos de la Relatividad General

Resumen

Este trabajo explora los fundamentos geométricos sobre los que se construye la Teoría de la Relatividad. En primer lugar, comenzamos con un bloque en el que se presenta toda la geometría diferencial necesaria. Empezamos explorando el concepto de conexión y su relación con el transporte paralelo. Posteriormente se construye la generalización de la conexión para formas diferenciables y campos tensoriales, demostrando a su vez la unicidad de dicha extensión. Visto esto, obtenemos el tensor de curvatura a partir del concepto de holonomía, un camino diferente al de la literatura clásica, estudiando, además, su interpretación geométrica. A continuación se encuentra el bloque de la Teoría de la Relatividad, donde se proponen los postulados de la relatividad desde un enfoque matemático. A partir de esto, se demuestra cómo las únicas estructuras del espacio-tiempo compatibles con dichos postulados es la newtoniana y la lorentziana. Abordamos también los aspectos cinemáticos de la relatividad especial, así como algunos principios de conservación. Finalmente, se integran todos estos elementos para obtener la ecuación de campo de Einstein. Otros desarrollos a los que prestamos especial atención y que completan la literatura son la interpretación geométrica de la torsión, la caracterización de estructuras métricas compatibles con los postulados relativistas, la definición de la conexión a partir del transporte paralelo y la ley de conservación infinitesimal del impulso para el caso lorentziano.

ABSTRACT

This project explores the geometric foundations underlying the Theory of Relativity. It begins with a section dedicated to developing the necessary tools from differential geometry. The concept of connection is introduced first, along with its relationship to parallel transport. The connection is then extended to differential forms and tensor fields, and the uniqueness of this extension is established. With these tools in hand, the curvature tensor is derived from the notion of holonomy, following a different approach from classical literature, and its geometric meaning is analyzed.

The second part focuses on the Theory of Relativity. The postulates of relativity are formulated from a mathematical perspective, and it is shown that the only space-time structures compatible with these postulates are the Newtonian and Lorentzian models. The discussion then turns to the mechanics of special relativity and several conservation principles. All these elements are eventually brought together to derive Einstein’s field equation.

Additional developments that receive special attention and complement the existing literature include the geometric interpretation of torsion, the classification of metric structures compatible with the relativistic postulates, the definition of connection via parallel transport, and the infinitesimal conservation law of impulse in the Lorentzian case.