Introducción a la topología algebraica desde una perspectiva categórica

Resumen

El presente trabajo desarrolla una introducción a la teoría de categorías y muestra cómo este lenguaje permite reinterpretar y estructurar conceptos fundamentales de la topología algebraica desde una perspectiva más general y abstracta. Tras una primera parte dedicada a los fundamentos categóricos, se estudia el grupo fundamental de un espacio topológico y el teorema de Van Kampen desde este nuevo enfoque. Finalmente, se establece un paralelismo riguroso entre la teoría de Galois algebraica y la teoría de los espacios recubridores, culminando en la equivalencia categórica entre revestimientos de un espacio y G-conjuntos. El trabajo combina teoría, demostraciones completas, ejemplos elaborados por el autor y observaciones comparativas que subrayan la potencia unificadora de la teoría de categorías.

ABSTRACT

Thiswork provides an introduction to category theory and shows howthis language can be used to reinterpret and organize fundamental concepts in algebraic topology from a more general and abstract perspective. After a first chapter devoted to categorical foundations, we study the fundamental group of a topological space and Van Kampen’s theorem using this new framework. Finally, we establish a rigorous parallel between algebraic Galois of theory and the theory of covering spaces, culminating in the categorical equivalence between Galois coverings and G-sets. The work combines theoretical development, complete proofs, original examples, and comparative observations that highlight the unifying power of category theory.