Visión Algebraica: Problemas minimales punto-recta en reconstrucción de modelos 3D

Resumen

El objetivo del trabajo será comprender las herramientas de Geometría Algebraica Proyectiva necesarias para poder definir los problemas punto-recta minimales enVisión por Computador y exponer los resultados principales que permiten obtener una clasificación completa de estos. El primer capítulo expone las cámaras como principal aplicación entre espacios proyectivos del trabajo, las variedades proyectivas como estructura principal de los objetos geométricos del trabajo y las Grassmannianas, para dotar a los subespacios proyectivos de estructura de variedades proyectivas. El segundo capítulo expone los tipos principales de aplicación entre variedades, relaciones entre ellas, la dimensión de una variedad y su relación con el anillo cociente y resultados sobre dimensión de fibras de aplicaciones, con objetivo de enunciar y demostrar el teorema de la dimensión de las fibras. El tercer capítulo trata los problemas punto-recta usando el lenguaje de la geometría algebraica proyectiva presentado en las secciones anteriores, define los problemas minimales y balanceados, clasifica los balanceados y expone algoritmos para comprobar si un problema balanceado es minimal, usando las herramientas teóricas expuestas en el capítulo anterior, y computar su número de soluciones.

ABSTRACT

The objective of the work will be to understand the necessary tools of Projective Algebraic Geometry to be able to define minimal point-line problems on Computer Vision and expose the principal results that enable us to obtain a complete classification of them. The first chapter exposes the cameras as the principal aplication between projective spaces of this work and Grassmannians, to give projective subspaces structure of projective variety. The second chapter exposes the main types of aplication between varieties and results on dimension of fibers, with the objective of announce and prove the Theorem of dimension of fibers. The third chapter discusses point-line problems using the language of projective algebraic geometry previously exposed, defines minimal and balanced problems, classifies balanced ones and exposes algorithms to verify if a balanced problem is minimal, by using the theoric tootls exposed in the previous chapter, and compute its number of solutions.