Teoría de estabilidad y atractores globales para sistemas diferenciales autónomos con aplicaciones

Resumen

Actualmente, los sistemas diferenciales autónomos son de gran importancia para la modelización de fenómenos que suceden en el mundo. Su utilidad se extiende a campos como la Física, la Biología y la Computación, entre otros. El estudio del comportamiento de estos sistemas a largo plazo nos permite comprender su estabilidad y predecir su evolución.

Este trabajo consiste en una revisión teórica de la estabilidad de los sistemas dinámicos, además de otros conceptos relevantes como los puntos de equilibrio, los atractores globales o los conjuntos límite. Se estudian en profundidad el método directo de Lyapunov y las órbitas de sistemas dinámicos a través del Teorema de LaSalle y del Teorema de Poincaré-Bendixson.

La revisión se basa en el contenido teórico encontrado en “Applied Nonautonomous and Random Dynamical Systems”, libro escrito por Tomás Caraballo y Xiaoying Han, así como en los apuntes de la asignatura de “Ampliación de Ecuaciones Diferenciales” del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

A lo largo del trabajo se exponen las definiciones y teoremas necesarios para el entendimiento de los conceptos tratados, junto con ejemplos concretos y gráficas para facilitar la comprensión del tema.

Con este trabajo se busca comprender y estudiar la estabilidad de los sistemas dinámicos, además de las potenciales aplicaciones que estos puedan tener, como modelización de epidemias, el desarrollo de ecosistemas o el análisis y simulación computacional de fenómenos físicos.

ABSTRACT

Autonomous differential systems are of great importance for modeling real-world phenomena. Their applicability extends to fields such as Physics, Biology, and Computing, among others. Studying the long-term behavior of these systems allows us to understand their stability and predict their evolution.

This work presents a theoretical review of the stability of dynamical systems, along with other relevant concepts such as equilibrium points, global attractors, and limit sets. The direct Lyapunov method and the orbits of dynamical systems are studied in depth through LaSalle’s Theorem and the Poincaré–Bendixson’s Theorem.

The review is based on the theoretical content found in “Applied Nonautonomous and Random Dynamical Systems” by Tomás Caraballo and Xiaoying Han, as well as on the lecture notes from the course “Advanced Differential Equations”, part of the Bachelor’s Degree in Mathematics at the University of Seville.

Throughout this work, the necessary definitions and theorems are presented to support the understanding of the aforementioned concepts, together with specific examples and graphs to facilitate comprehension.

The aim of this project is to study and understand the stability of dynamical systems, as well as their potential applications, such as epidemic modeling, ecosystem development, and the computational analysis and simulation of physical phenomena.